作者 | Harold M.Edwards

來源 |《數學譯林》

翻譯 | 黃險峰

校正 | 袁向東

在我看來，一個人要在數學上取得進步，他就應該向大師學習，而不是向大師的學生學習。

——N.H.Abel (1802-1829)

向大師學習這種思想現在和Abel時代一樣重要，最優秀的數學家知道這一點并始終這樣去做，不幸的是，學數學的學生常常在他們學業的前幾年使用數科書(有些可能是大師寫的，但往往不是)和那種自足的、很少或根本沒有所論主題的原始參考文獻的講義、數程。學生要靠自己去發現Ahel的忠告中的智慧。可以說，他們正在這方面消磨掉好時光。

“向大師學習”一語可作兩種解釋，有些數學專業的存在不過五十年。在這些專業中“向大師學習”應理解為學習那些作出最重要貢獻的研究者的著作，這是其正值得去做的事：這些領域裡最傑出的人才在這樣做，但即使在這些專業方向上，學生亦常常不去學習原始文獻：然而，我心目中想的是把數學作為一個統一體的更開明的觀點，所以至少應追溯到Newton和Leibniz。幾百年來出現的大師包括 Euler、Gauss、Abel本人、Galois.Riemann、Poincaré、Hilbert等。

什麼是第一流數學家的觀念也許會帶有我的偏見，但我深信大多數第一流的數學家對數學持有把數學視為統一體的開明的看法，并确實在向大師們學習。關于這一點，Carl LudwigSiegel記述法蘭克福數學讨論班(Frankfurt Mathematics Seminar)的曆史的文章^[1]提供了一個突出的例子，他在文中描述了二十年代和三十年代初期法蘭克福的一個由師生共同參加的數學史讨論班的情況。

“從各個時期的原著中研究較重要的數學發現已成為讨論班的慣例，每個參加者應事先讀完他負責的那部分内容，并在大家閱讀後主持讨論。用這種方法，我們研究了古代數學家，并用了許多個學期詳細研究Euclid和Archimede，我們還用了幾個學期研究從中世紀到十七世紀中期代數學與幾何學的發展，在此過程中，我們完全熟悉了Leonardo Pisano、 Vieta、 Cardano、Descartes Desargues.的著作。我們一起對十七世紀微積分賴以産生的思想進行了研究，結果大有收益。我們特别讨論了Kepler、 Huygens、 Stevin、 Fermat、 Gregory及Barrow的發現”。

對我們中的大多數人而言，去讀Leonardo Pisano(又名Fibonacci 1180?-1250?)的書的想法，似乎把向大師學習的事搞得太過分了。但正如Siegel所說，這個數學史讨論班的活動的持久價值在于，它為他提供了“一生中最幸福的回憶”，而且遠不止于此。

指導這個曆史班的核心人物Max Dehn是二十世紀最傑出的數學家之一，他為組合群論、組合拓撲及幾何基礎作出了十分重要的貢獻。Dehn的著作的特色是富有想象力，并且有豐富的思想，了解他的人能看出他的這些優良品質與他對數學史的濃厚興趣有直接聯系。他的讨論班專門研究十八世紀以前各個時代的數學——也許那些時代的數學同樣屬于從事現代數學各分支研究的數學家，因而幾何學家、代數學家、分析學家、拓撲學家等都可以來參加讨論——但對Dehn和他的同事們來說，這種類型的研究的價值、方法和途徑，都 遠遠超越了十八世紀。

也許，将曆史知識和數學研究結合的最了不起的例子莫過于Siegel在研究ζ函數(Zetafunction)理論時的一個發現了，即現在所稱的Riemann-Siegel公式。1930年左右，Siegel從事Riemean有關解析數論著作的研究。在Riemann去世那年(1866年)寫的論文的散頁中，斷斷續續地記着一些公式，這些論文現藏于德國格丁根州檔案館和格丁根大學圖書館内。由于人們對ζ函數和Riemann關于其零點(不是在負偶數點)均有等于1/2的實部的猜想有巨大興趣，所以對Riemann可能已經得到但未發表過的關于ζ函數的信息特别好奇。在Sie-gel之前，有一些人試圖去理解Riemann的那些毫無聯系的注記；但完成這項工作需要這樣的人，他應即是極老練的，技巧純熟的數學家，同時又是一個有耐心和奉獻精神的曆史學家。這種人才能去研究像Riemann這樣一位人物留下的原始材料。Siegel的努力使他獲得了驚人的發現：Riemann已得到關于ζ函數的兩個公式，在他死後七十五年(1932年)，這兩個公式中的每一個都對ζ函數理論的發展有重大貢獻。完全可以相信，要不是Siegel，這些公式至今還不會為人所知。

二十世紀另一位重要的數學家André Weil^[2]亦自稱為大師著作的讀者。

“作為高等師範學校一名年輕的學生，我研究Riemann，繼而研究Fermat,并很早就接受了這種勸告——細心注意曆史上的偉大數學家，至少可以比讀當今時興人物的作品得到更多的靈感。”[2，卷1，520頁]

1926年，Weil訪問了法蘭克福的由Dehn主持的讨論班，從此便“盡可能多”地去那裡訪問了。他寫道，在那些讨論班的讨論會上，“我感到我在參加一個無可比拟的動腦筋的節目，”[2，卷3，460頁]

并且由于在這樣的場合得到了益處，在Bourbaki開始創作的時候，我自然就建議對那些很易陷入過分教條化的陳述上曆史注釋，以便給它們以恰當的地位。有一段時間，這方面的工作主要落在我的身上，我向Bourbaki提出了這項工作的初步計劃，經過微小的修改便獲批準，這與Bourbaki對從共合作者那裡得到的那些專門教材的反應完全相反……，漸漸地，Bourbaki的其他合作者亦嘗到了這種工作的甜頭，而我自己則變得隻是偶然地去搞一搞，……”[2.卷3.400-461頁]

通過Weil, Bourbaki的合作者們(也許，甚至是Bourbaki 本人)都成了大師著作的讀者。

有幾點理由可以說明為何最優秀的數學家被吸引去讀經典著作，首先，他們似乎是天生的善于進行綜合的人，數學的真谛在于理解看起來不同的概念間的邏輯聯系。最成功的數學家都是涉足面最廣、洞察相似之物和将概念聯系起來的能力最強的數學家。曆史在這樣的研究活動中的作用是明顯的。對某些相似性的認識往往要經曆幾代人，而且通過對普遍的曆史事實的回顧，往往容易看出各種聯系。進步不是出自于新的概念，而是由于認識到可以把舊概念用于新的情況，這樣的事實比我們所願想象的要多得多。

我的一個同事贊同最優秀的數學家去研究曆史，他還提出了另一點理由，他說“優秀的數學家研究好的問題，而好問題都有其曆史，”他也許還應說，常常是曆史使其成為好的問題，因為曆史展示出了它與其它問題的解的聯系以及它在數學内外的應用。

當然，一般學習曆史所可能獲得的好處同樣适用于數學，曆史是人類積累起來的經驗，沒有一個明智的人會忽視它。曆史指明了我們當前所處的狀态，它又是最好的信息來源，幫助我們判斷什麼是可能的、什麼是不可能的。隻有了解了複雜而神秘的萬千世界是怎樣發展而來的，才易于弄明白它多姿的容貌。

然而，曆史在數學研究中的地位顯得更為重要，數學家們談論數學的“客體”并喜歡想象有一客觀真理與他們所證明的定理相符合，但從未有人看到過這樣的“客體”，歸根到底，人們了解它們的唯一途徑是閱讀他人的著作，為此，明智的做法自然應去讀最聰慧的作者——大師們的著作，從這一點看，數學和哲學類似，它與其曆史在本質上是不可分割的。數學的主要概念、所研究的問題以及理論的形成方式都不可避免地與第一次提出它們的研究者的名字和著作相聯系。

最後，還有一個吸引最優秀的數學家注重曆史的簡單理由，也許它可以代替所有其它理由，那就是曆史太有趣了，第一流的數學家自然對數學有濃厚的興趣，所以對過去時代的偉大的數學創造興趣，它們比目前數學中的大部份内容更出色。而且這種興趣所産生的刺激不僅限于某一個方向，許多時候，當自己對某項工作的興趣減弱時，通過閱讀經典著作又會獲得新的靈感。

由上面這些理由可以看出，向大師學習是數學生活的一個重要部分，因而也應是數學教育的一個重要部分。不幸的是，實際情形幾乎不是這樣。無疑，其主要原因在于缺乏時間，美國的研究生在很短的時間裡需要學習的東西太多，而且很快又必須開始寫論文、搞研究，根本無暇顧及經典。在這樣的情勢下，給學生以指導，向他們解釋不可能一下子什麼都學到，讓他們知道閱讀經典的價值并幫助他們獲得閱讀經典所必須的技能，這一切成了導師的義不容辭的職責。

閱讀數學經典著作不像說起來那麼容易，術語、寫作風格和數學環境的變化，使數學(被陌路人戲谑地當作一堆永遠不變的事實)成了這樣的領域，一、二十年前的著作在年輕的讀者眼裡常常變得很古老了。讀者必須對較早的數學著作中的數學加以理解——它們的作者視為讀者應掌握的基本概念的各種假設、已知的定理、所考慮的問題、所慣用的證明方法等等，要使學生獲得這樣的背景知識是不容易的。唯一的辦法是耐心的學習，數學教程一般不能對現代數學的每一領域都給以充分的注意，以使這一領域内的專家獲得閱讀經典所需的所有信息。找一個這樣的論文指導老師是大有益處的：他很好地掌握了那一領域的經典文獻并能指導學生閱讀。不幸的是，即使熟悉經典的導師亦常常看不到為學生打開經典著作大門的重要性；而更不幸的是，許多導師對經典著作也隻是一知半解。

為向大師學習，學生應學習的另一種技能是語言知識，在第二次世界大戰前，很少有大師用英文寫作；如果美國學生要學習這些著作，他們就必須學習外語。教育中的這一重要部分(不僅在閱讀經典時有用，在數學研究的各個方面亦是有用的)在今天日漸被忽視了，這給我們的學生帶來了持久的不利因素。我認識一些獲得博士學位的年輕數學家，他們的專業是數論，而這個領域内80%的經典文獻是德文的，但他們到成年還不具備借助字典閱讀德文的數學文獻的能力。他們希望經典文獻能被翻譯過來，但這是不可能的，因為隻有很少的人既有語言方面的能力又有數學方面的能力能作透徹的翻譯，他們也不可能為了少數潛在的讀者的方便而花費他們的時間與精力。

數學的健康與充滿活力的連續發展依賴于數學界的領導人物，他們多才多藝并涉足于數學中的多個領域，因而能夠阻止那樣一種趨勢的發展：由于人們如此強烈地專注于各自的專門方向，而這些方向又是如此之多，以緻使數學變得支離破碎。在今天，這樣的領導人是很多的，我們把近幾年獲得的幾項漂亮的綜合性研究成果歸功于他們，這些研究把不同分支的技巧揉合在一起，因而使這些技巧更趨完善并增強了它們的應用能力。現在正在受教育的一代，如果他們注意Abel的忠告并向大師學習，從他們中間可能産生出更多的這樣的領導人。

注釋：

1、原題：Read the Mastersy 譯白：Lyan Arihur Stera編的《Mathematics Tomorrow》, New York,1981,105—110.

2、本文作者H.M.Edwards為紐約大學數學教授，他于1956年在威斯康辛大學獲學士學位，1957年在哥倫比亞大學獲碩士學位，1961年在哈佛大學獲博士學位，并執教于哈佛大學和哥倫比亞大學，他的主要興趣在于數論和數學史，他最近的兩本書（《黎曼函數》（1974）(Riemann Zeta Function)和《費爾馬大定理》(1977)(Fermat's Last Theo-rem))從曆史發展的角度闡述數論中的課題，并因此獲得美國數學會1980年的Steele獎，目前他正着手他的第三本關于數論曆史的書。——原注。

參考文獻

[1]C.L.Siegel, Zur Geschichte des Frankfurter Mathematischen Seminars, Frankfurter Universitatsreden1964, Heft 36, aiso in Gesammelte Abhandiungen, V. 3. pp 462-474. Authorigzed English transIa-tion in The Mathematical Intelligencer, 1:4 (1979), 223—230.

[2]A. Weil, Andre' Weil, Oeuvres scientifiques (Collected Papers). Sprirger-Verlag, New York,1979.

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