聚點定理是《老黃學高數》系列視頻第218講分享的内容，指的是實軸上任一有界無限點集S至少有一個聚點。聚點定理還有一個推論，叫作緻密性定理，全稱是有界無限數列的緻密性定理，《老黃學高數》系列視頻第219講也對它進行了介紹。

緻密性定理的内容非常簡單，即有界無限數列必含有收斂子列. 但它本身未必收斂哦。因為它同時可能存在不收斂的子列。

為了證明這個推論，設任意一個有界無限的數列{xn}，若這個數列含有無限多個相等的項，那麼由這無限多個相等的項構成的數列，就是原數列的一個常數子列，而常數列總是收斂的。

如果數列中不含無限多個相等的項，那麼數列在數軸上對應的點必然會構成一個有界無限的點集。

由聚點定理可知，有界無限點集至少有一個聚點。由于這個聚點肯定是區間套确定的點，因此原數列必有一個以它為極限的收斂子列，事實上原數列有無限多個以這個聚點為極限的收斂子列。

這個推論可以用來證明數列的柯西收斂準則的充分性。因為必要性隻需極限的定義就可以證明，所以這裡隻證明充分性。

根據柯西收斂準則的收斂條件，取ε0=1，就有正整數N，使當m=N 1>N，而n>N時，就有|an-am|<1. 什麼意思呢？N是一個有限值，所以m也是一個有限值，所以N和m對應的項，都是可以确定的。從而對應的項也是有限值。而小n就不一定是有一個有限值了。它隻要比N大就可以了，所以可以是無窮大。但它的值，卻被限定在鄰域U(am,1)上了。

因此，可以推出|an|=|an-am am|≤|an-am| |am|<|am| 1. 這裡運用了絕對值的三角不等式。目的是證明an是有限值。

取M=max{|a1|,|a2|,…,|aN|,|am| 1},，它就是整個數列的絕對值的上界，這說明原數列是有界的. 由緻密性定理可知，有界無限數列{an}必有收斂子列.

記這個收斂子列的極限為A，根據極限的定義，任給正數ε，不論它有多小，總存在一個正整數K，使得當m,n,k大于K時，同時有|an-am|<ε/2, |a_(nk)-A|<ε/2.

由于m和nk都是任意的，所以每一個nk都可以找到一個m與之相等，而子列下标nk肯定大于原數列的下标k，k又大于K，那些下标小于nk的項，我們并不需要理會，因為列數極限隻須研究下标充分大時的無窮多個項，也是數列幾乎所有的項就可以了。

這就有|an-A|≤|an-a_m| |a_(n_k )-A|<ε.，從而由極限的定義可知an也收斂于A，柯西收斂準則的充分性得證。

目前老黃已經用了三種方法證明柯西收斂準則的充分性了。第一種是在《老黃學高數》的第78講介紹的，運用的是戴德金分割的原理；第二種是在第215講介紹的，運用的是區間套定理及其推論；而這裡介紹的就是第三種證法。你可以對比一下，哪一種證法更優越，這個過程中，能加深你對相關知識的理解的哦。