中位線
【方法說明】
連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．
如圖，△ABC中，點D，E分别為邊AB，AC的中點，則DE是△ABC的中位線，DE∥BC，DE＝1/2BC．
【方法歸納】
1．如圖，△ABC中，點D，E分别為邊AB，AC的中點．連接DE，則DE∥BC，DE＝1/2BC．
2．如圖，四邊形ABCD中，點E，F分别為邊AB，CD的中點．連接AC，設AC的中點O，連接EO，FO，則EO＝BC，FO＝AD，EO＝1/2BC，FO＝1/2AD．
【典型例題】
1．（11廣州）如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．
（1）證明：B、C、E三點共線；
（2）若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN＝根号2OM；
（3）将△DCE繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）後，記為△D1CE1（圖2），若M1是線段BE1的中點，N1是線段AD1的中點，M1N1＝根号2OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．
【解題過程】
解：（1）∵AB是直徑，∴∠BCA＝90°，
∵等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴B、C、E三點共線；
（2）連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖1，
∵CB＝CA，CD＝CE，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，
∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BF⊥AE，
又∵M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點，
∴ON＝1/2BD，OM＝1/2AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON＝OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，∴MN＝根号2OM；
（3）成立，理由如下：
如圖2，連接BD1，AE1，ON1，
∵∠ACB－∠ACD1＝∠D1CE1－∠ACD1，
∴∠BCD1＝∠ACE1，
又∵CB＝CA，CD1＝CE1，
∴△BCD1≌△ACE1，
與（2）同理可證BD1⊥AE1，△ON1M1為等腰直角三角形，從而有M1N1＝根号2OM1．
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