彈簧大家一定不陌生

和金屬絲或者其他材質的繩子比，彈簧有什麼特征呢？

和金屬絲相比，彈簧在彎曲方面有更好的韌性和彈性形變極限

并且彈簧不像繩子那樣松散，能夠将力很好地傳遞到其每一個位置

所以彈簧在很多教學實驗就是老師的好幫手啦！

實驗器材

所标杯、彈簧、手套、所徽

實驗過程

首先，我們來做一個複習：

将所徽挂在彈簧一端

（相比于彈簧，所徽質量可以忽略不計）

讓其在平面内擺動

這時可以将彈簧近似地看作一個複擺

複擺運動的周期和等效長度呈正相關

随着彈簧長度增加，随着轉動慣量的增加，

往複周期就增加了

如果我們将兩個垂直平面内的往複運動疊加起來

就可以合成一個圓周運動

這個圓周運動有一個角速度下限

這個下限和形成圓周運動之前的擺動頻率有關

但是在此之上我們可以試着讓它轉的更快

相對的彈簧也會“飄“得更高

複習完畢，那我們開始玩起來

捏住彈簧的一端

使其旋轉

不僅可以得到上圖中簡單的圓周運動

還可以得到和駐波類似的運動

達成這個駐波的最小角速度條件

和彈簧在特定長度擺動的固有頻率有關

大家可以猜一猜這個長度占彈簧總長度的比值是多少？

（讓我看看機智的小夥伴在哪裡

同樣的，在形成“駐波“之後

如果我們加速旋轉

彈簧整體也會擡升

轉動的手感還是很不錯的

和平面内的駐波比，旋轉起來的“駐波”更加穩定

大家也可以嘗試一下隻在一個方向上振動

結果會發現很難将擺動控制在一個平面内

彈簧會自然地開始轉動起來

那麼，能不能讓彈簧出現更多的波節呢？

我們可以先嘗試找到使其穩定振動的頻率

首先找到彈簧的1/5處（想想為什麼？）

輕輕搖動一下

靜下心來感受它的振動

然後以相同的頻率抖動彈簧

就可以成功的激發出更多的波節

看，這樣旋轉的彈簧像不像随音樂起舞的蛇？

原理解說

（1）關于複擺

在小角度下複擺的周期公式為：

其中I為彈簧繞着支點（手）的轉動慣量

小角度下不考慮彈簧的形變的話

所以在小角度時振動周期的平方正比于彈簧長度

随着擺動角度和彈簧長度的增大，周期公式以及轉動慣量都會發生變化，但是整體上還是呈正相關的。

（2）關于複擺運動與圓周運動

在小角度時複擺近似地做簡諧運動，而在正交的兩個方向上，相位差為π/2的兩個簡諧運動可以合成為一個圓周運動。大家可以參考這樣一對參數方程：

當然了，随着圓周運動的角速度提高，整個系統就不能夠用由複擺近似的簡諧運動合成。此時圓周運動是以彈簧的離心力、重力和彈簧内部的拉力共同作用下平衡的。當然，由于彈簧在甩動時呈一條曲線，若想得到完整的表達式需要做一些微積分的計算。當然我們可以定性地去分析，随着圓周運動的角速度提高，彈簧受到的離心力必然是增大的，其與重力的合力與垂直軸的夾角也會變大，彈簧整體也就“浮起來“了。

（3）關于駐波

我們之前提到了兩個簡諧運動可以合成一個圓周運動，那麼反過來也是一樣，我們可以将旋轉的彈簧投影到平面上，讓它分解成兩個平面波。彈簧在手這一端是固定住的，在另一端是不固定的，所以形成駐波就是中學時我們學到的管内一端開一端閉的模式。那麼形成的前兩階駐波示意圖就如下：

這也是我們找到駐波最靠近彈簧末端的位置分别為1/3以及1/5的原因啦~

編輯：荔枝

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