大家知道, 計數問題中有兩個基本要素: 一個是"分組", 一個是 "關于排列組合計數模式的再認識".

下面我們來談談如何認識排列和組合模式中的這兩個要素. 先看一個例題.

例 A.1.1甲、乙、丙、丁四人進行乒乓球雙打練習, 兩人一對地結為對打的雙方, 有多少種不同的結對方式?

可能有人會認為這個問題是簡單的組合問題: 從四人中選出兩人結為一對, 剩下的兩人結為一對即可. 于是他們算得: 有 6 種方式. 但事實是否如此呢?我們還是實際地來排一排吧! 不難看出, 一共隻有如下 3 種結對方式:

(1) {甲, 乙}{丙, 丁};

(2) {甲, 丙}{乙, 丁};

(3) {甲, 丁}{乙, 丙}.

這個事實說明, 組合模式并不适用于這個問題. 有人可能會問: 這是為什麼呢? 組合, 組合, 不就是用來解決分組和結合問題的嗎?

我們說: 固然不錯, 組合是用來解決 “分組" 和”結合" 問題的, 但是這裡仍然有着一個順序問題. 固然, 在按組合模式分出的組内, 元素之間是沒有順序的, 但是需要指出的是: 在組與組之間卻存在着順序, 或者叫做“編号"!

應當注意, 在按組合模式計算時, 我們計算的是”取出兩個人" 的所有不同取法數目. 假如把取出的兩人算為一組, 而把留下的兩個人算為另一組. 那麼由于“取出甲、乙, 留下丙、丁" 和 “取出丙、丁, 留下甲、乙" 是兩種不同的取出方式, 從而在這種計算方法中, 就被算作是兩種不同的“分組" 方式了,于是就得到了如下 6 種分組方式:

(1) 第一組為: {甲, 乙}; 第二組為: {丙, 丁}.

(2) 第一組為: {丙, 丁}; 第二組為: {甲, 乙}.

(3) 第一組為: {甲, 丙}; 第二組為: {乙, 丁}.

(4) 第一組為: {乙, 丁}; 第二組為: {甲, 丙}.

(5) 第一組為: {甲, 丁}; 第二組為: {乙, 丙}.

(6) 第一組為: {乙, 丙}; 第二組為: {甲, 丁}.

這就是說, 在這種計算中, 我們已經把所分出的組編了号: 取出的兩個人為第一組,剩下的兩個人為第二組.

這就告訴我們:"組合" 是一種"有編号的分組模式", 或者說, 按照組合模式計算出的分組方式數目中, 已經天然地把組的不同編号方式數目計算在内了.

這就是說, 我們需要重新認識組合模式. 在運用組合模式計數時, 必須時時注意: 在計算出的分組方式數目中, 不但計入了誰和誰分在一個組的不同方式, 而且還天然地計入了各個組之間的不同編号方式.

運用上述認識, 我們可以方便地解決如下問題.

例 欲将 6 個人分為 3 組, 每組 2 人, 分别從事 3 項不同工作, 求分配方式數.

解：先取出兩人從事第 1 項工作, 有

種方式;

再取出兩人從事第 2 項工作, 有

種方式;

剩下的兩人從事第 3 項工作. 所以一共有

種分配方式.

在這裡, 3 項工作是不同的, 在它們之間天然地存在着 “順序", 或者叫“編号",所以适用于組合模式. 由于分出的組數多于兩組, 所以将分組過程分為幾步進行.

關于排列組合計數模式的再認識到此結束。

* 本文選自蘇淳《概率論（第三版）》

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