接着前幾天的實數與數列極限，今天來整理學習筆記--第二章，函數與函數極限。

P.S.:

1. 由于百家号和頭條号并不适合寫思維導圖類型的讀書筆記（圖片太渣了），現在改為文字綱要的形式。
2. 學習的課本是由科學出版社出版，劉名生，馮偉貞，韓彥昌編寫的三冊《數學分析》

第二章

第1節，首先介紹映射的概念，映射分為單射，滿射，雙射。之所以首先介紹映射，是因為後續函數的概念是通過映射的來定義的。函數與映射的關系是，函數是一種特殊的映射，特殊的地方就是函數規定了集合是數集。

函數的确定主要取決于函數的定義域與對應法則。

并非每個對應法則都能由一個數學公式表示的：例如，取整函數，分段函數，符号函數和常值函數。

函數有四種特性：奇偶性，單調性，周期性和有界性

函數之間是可以運算的：滿足條件和規則的四則運算，和複合運算（所謂複合就是函數嵌套函數）

反函數：将函數的因變量作為自變量，自變量作為因變量的函數

初等函數：是基本初等函數 有限次的四則運算或者複合運算所得到的新函數

基本初等函數是初等函數的一部分，都在中學學過

• 常值函數，y=c
• 幂函數
• 指數函數
• 對數函數
• 三角函數
• 反三角函數

非初等函數則不是有基本初等函數運算得來的，如符号函數

第2節，通過第1節重新認識了函數後，開始了解函數極限。函數與數列有什麼不同呢，數列一定是離散的，函數可以是連續的，例如{an}=1,2,3,4,5... ；而函數f(x)=x x∈R ，f(x)就可以是1,2,3,4,5,5.1,5.001...

第3節，函數極限：

1. 無窮型，數列極限是n->∞ 得到極限的，那麼函數極限呢，類似數列極限 f(x)=A x->∞ （或±∞ ）
2. 定值型，x 趨向于一個定值，形如f(x)=A x->x0 （或±x0 ）
3. 注意，同樣具有左極限，右極限，極限的概念，函數趨向于某值或無窮的三種極限的關系：左極限=右極限=極限

第4節，函數極限的性質：類比數列極限，函數極限同樣具有：

• 唯一性
• 有界性（不過這裡是局部有界性）
• 保不等式性
• 保号性（局部保号性）
• 四則運算性 和 複函函數運算

第5節，函數極限的判别法：同樣與數列極限很類似

• 迫斂性定理
• 函數單調有界定理
• 柯西準則
• 特别提醒的，歸結原則--海涅定理：該定理建立了數列與函數的關系，我們知道數列是一種特殊的函數，函數是一種特殊的映射。有了海涅定理，我們就建立了數列極限與函數極限的關系，利用數列極限的判别法來導出函數極限的存在的條件。

第6節，這是第二章的最後一個小節：講無窮量

所謂無窮量其實是函數極限的非正常極限 f(x) =∞ x->x0

當 f(x) = ∞ x->x0，則稱f(x) 在x->x0時的一個無窮大量

當 f(x) =-∞ x->x0，則稱f(x) 在x->x0時的一個無窮小量

無窮大量與無窮小量的關系：1/無窮大量 = 無窮小量

無窮小量的運算：滿足±法和乘法 封閉

無窮小量和函數極限的關系：若 f(x)=A x->x0，則f(x)-A 是x->x0時的無窮小量

還有高階無窮小，同階無窮小，和等價無窮小

這裡特别強調等價無窮小:f(x) /g(x) = 1 x->x0 ,作用是計算極限時可以利用等價無窮小做替換方便計算（等價無窮小隻适合替換乘除部分的因子）

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