小時候 每個人最早接觸的折紙，應該都是紙飛機，它流暢的外形加上簡潔的線條，每個人都能夠很輕易的學會，到了後來漸漸接觸更多如千紙鶴等，其他一些入門級的折紙，為童年生活增添了不少樂趣。

在我們的日常生活中紙張通常扮演着無處不在卻易被小觑的配角。或作為文字的載體，或包裹重要的實體。而在一些聰明人手中，它們似乎"活"過來了，有了全新、立體的角色定位。

01 折出圓錐曲線

"你會用紙折小船嗎？"

"會！"

"你還會折些什麼呢？"

"我會折的東西多啦，飛機、亭子、鳥、衣服，……，我能折好幾十種東西呢。我還會用花紙折成小三角，再拼成許多立體圖形，菠羅呀什麼的。"

"那你真可以叫折紙專家了。不過我想問你：你能折出一條抛物線來嗎？"

"……，!"

下面你就開始折紙了。當你把紙折過來，讓F落到L上時，就得到一條折痕。就這樣不斷地改變點F落在L上的位置，于是就得到一系列的折痕，當折痕足夠密的時候，你再打開紙仔細看看！

哈，一條抛物線躍然紙上。

這是什麼緣故呢？

大家知道，抛物線是二次函數y＝ax2＋bx＋C（a≠0）的圖形。不過抛物線還有一個悖性：抛物線上任何一點到一定點F及一定直線L的距離相等，這是解析幾何中抛物線的定義。可以證明，滿足這個條件的點組成的圖形在适當的坐标系裡正是二次函數的圖形。這裡L叫抛物線的準線，F叫抛物線的焦點。

下面我們就用這個特性來說明這個問題：　設點F與L上的點P重合時，得到的折痕為直線n。

作PT⊥L交直線n于T。由于直線n是FP的垂直平分線，故FT＝PT，而FT是T與點F的距離，PT是點T與l的距離，于是可知T點在以l為準線F為焦點的抛物線上，當改變P的位置時，點T就畫出一條抛物線來了。

而對于直線n上異于T的點T′，作T′P′⊥l，就有FT′＝T′P＞T′P′。這就是說，直線n上異于T的點都在這條抛物線外。（就是說，直線n與抛物線切于點T）所以，這條抛物線實際上是用這些切線"圍"出來的。"化直為曲"，一系列的直線圍出了一條曲線。數學裡有個專門名詞，稱抛物線是這一系列直線（直線族）的"包絡"。

再來看一種包絡抛物線：大家知道，高射炮彈在空中飛行的軌迹（在理論上，不計空氣阻力時）是一條抛物線。高射炮炮管的仰角不同，就可以得到不同的抛物線。所有這些抛物線（抛物線族）有一條"包絡"。這條包絡也是抛物線，隻要飛機在這包絡之外飛行，就不會被高射炮擊中。因此，這條包絡又稱為"安全抛物線"。

上面講的是用折紙的辦法得到一條抛物線。其實還可用折紙的辦法得到一個橢圓。這隻要先畫（或剪）一個圓O，在圓内任取一點F，（F不與O重合）。然後就開始折紙。每次都讓點F與圓周上的不同點重合，而得到不同的折痕，當折痕足夠多時，你就可以發現，這些折痕就圍出了一個橢圓。

實際上，橢圓是到兩個給定點距離之和為定值（定值大于兩定點距離）的點的軌迹，設點F與圓周上點P重合時的折痕為MN連OP交MN于T，貝OT＋TF＝OT＋TP＝圓的半徑（為定值）。這就說明當P在圓周上運動時，點T就"動"出一個橢圓來。同樣也可知MN上其它點到O與F距離和大于圓的半徑。就是說，MN上其它點都在橢圓外，它又是橢圓的切線，這些"直線族"的"包絡"是橢圓。

假如讓點F與O重合，或把點F放到圓O外去，就可以分别得到"圓"與"雙曲線"，你看，折紙還真有點名堂呢。

我們也可以這樣折出橢圓曲線來，手頭隻有一個圓，怎麼盡可能标準地畫一個橢圓？折紙就可以辦到。在圓中随意地選取一個圓心以外的點，不斷地折疊圓形，讓選中的點始終落在圓的邊界上。經過不斷的折疊，在圓中有一塊區域，折痕始終進不去，通過嚴格的數學計算可以證明這就是一個橢圓，圓心和選定的點即為橢圓的兩個焦點。實際上最開始我們把另一個焦點選在圓心上，我們就隻能得到圓了。

我們可以使用類似的思路得到其他的圖形，比如，我們選擇的折痕把整個圖形的面積分為特定的比例。

02 龍形曲線

在無聊的時候，很多人會有拿起手頭的紙亂疊的癖好。不斷地對折一條紙帶，然後将其展開，讓線段之間的夾角均為 90 度，我們就能得到一條龍形曲線[5]——因為它真的長得很像一條龍。不過因為疊紙的厚度增長是指數型的，每次折疊以後紙的厚度都會變為折疊前的兩倍，所以在折疊 6-7 次以後就無法折疊了。所以我們在現實生活中看到的龍形曲線并不那麼完美。

所幸計算機技術已經十分發達，利用計算機，我們可以看到折紙生成大型龍形曲線的樣子。

因為龍形曲線最早由 NASA 物理學家 John Heighway 等人開始相關探索和研究，所以也被稱為 Heighway 曲線。

不斷地通過同一個規則叠代生成的龍形曲線,數學上可以通過不斷叠代的方法産生龍形曲線：選定兩個起始點,左右交替地将線段轉換為以其為斜邊的等腰直角三角形的另外兩條邊,不斷重複第 2 步,回到我們的折紙問題上，龍形曲線其實也可以理解為一個人随機地選擇左轉或者右轉前進，但是又從來不走重複的路，最後走過的路徑最後會變成什麼樣？

說起龍形曲線本身最吸引科學家關注的地方，當然還是他的分形特性，以及帶來的自相似性質了。在一幅龍形曲線圖中，我們總可以找到一個較大的部分和一個較小部分的相似關系，宛如一條完全曲折的海岸線。通過比較圖形尺寸變化與面積之間的關系，即可「定義」圖形的維度。有趣的是，龍形曲線的維度恰好為 2。分形圖案很多并不是 2，一般他們擁有分數維的維度。如科赫曲線，其維度為 1.26。這也就說明，龍形曲線有可能用來填充平面。也就是我們平常所說的鋪地磚。

03 濕法折紙的方法

在我們的印象之中，折紙就應該是剛硬的線條，加上簡潔的外形。然而來自越南的折紙藝術家Hoang Tien Quyet ，卻改變以往普通的折紙方式，用一種名為"濕法折紙"的技術，創造出充滿曲線，更加生動立體的折紙。"wet-folding"（濕法折紙）技術，由日本折紙大師吉澤章創造，吉澤章從1938年開始其從事折紙創作研究，是一位對折紙藝術産生深遠影響的人物，簡單來說就是将比較厚的紙張弄濕，以便創造出更為豐富的造型。

如果覺得文字版很難懂，折紙所用的紙張一般都比較薄和脆，時間長了就會散開而失去原來的造型，而硬一些的紙，在通過濕潤後，可以很輕松的制作出非常漂亮的3D模型。當他們幹了之後，這種神奇的效果會保持數年之久。

看到這你是不是也蠢蠢欲動想要自己嘗試呢？其實濕法折紙的方法也很簡單，

選用90g到160g重的紙張，用噴壺微微噴濕兩面後迅速擦幹，然後用手指肚進行造型，當你折疊的時候，一定要邊折邊思考，朝着你心中的目标一點點推進。

關于折紙，其實還有很多其他的應用。現在的人造衛星，大多使用太陽能電池闆提供能量，但是怎麼把太陽能電池闆運上太空卻是一個大問題。通過折紙的方式，先把太陽能電池闆折疊起來，再在太空中展開，就是最為有效的方法，而這種折疊方式以其發明者命名——三浦折疊。

欣賞完這些折紙手工藝品，有沒有覺得如此豐富由紙張塑造出的形象，仿佛真的隻差注入一劑靈魂就會蘇醒過來呢。

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