公式（2）表明一組數據的方差等于這組數據的平方和的平均數減去平均數平方的差．

構造方差可以巧妙地解決一些有關實數和與平方和問題．

一、證明不等式

例1　已知實數a、b、c滿足a b c=1．求證：a^² b^² c^²≥1/3．

證明：由已知，a、b、c的平均數為1/3，設方差為s^²，則由計算公式（2）及性質①，得

s^²=1/3·[a^² b^² c^²-3×(1/3)^²]

=1/3·(a^² b^² c^²-1/3)≥0，

∴a^² b^² c^²≥1/3．

例2 已知實數a、b、c滿足a^² b^² c^²=1．求證：-√3≤a b c≤√3．

證明：設a、b、c的平均數為x，方差為s^²，

則由已知及計算公式（2）和性質①，得

s^²=1/3·(1-3x^²)≥0，

整理，得x^²≤1/3，-√3/3≤x≤√3/3，

因為a b c=3x，

所以-√3≤a b c≤√3．

二、證明相等

例3 已知實數x、y、z滿足

x^² y^² z^² 3=2（x y z），

求證：x=y=z．

證明：設x、y、z的平均數為m，方差為s^²，

則x y z=3m，

s^²=1/3·（x^² y^² z^²-3m^²），

由已知，得

x^² y^² z^²=2（x y z）-3=6m-3，

代入上式，得

s^²=1/3·(6m-3-3m^²)

=-3(m^²-2m 1)

=-3(m-1)^²≤0，即s^²≤0，

又s^²≥0，所以s^²=0，

故由性質②，得x=y=z．

例4　已知實數x、y滿足：x^² y^² 2a^²=2a（x y），

求證：x=y．

證明：設x、y的平均數為m，方差為s^²，

則x y=2m，

s^²=1/2·（x^² y^²-2m^²），

由已知，得x^² y^²=2a(x y)-2 a^²=4am-2 a^²，

代入上式，得

s^²=

（4am-2 a^²-2m^²）

=-2(a^²-2am m^²)

=-2(a-m)^²≤0，即s^²≤0，

又由性質①，知s^²≥0，

所以s^²=0，

故由性質②，得x=y．

三、解方程組

例5　求方程√x √(y-1) √(z-2)=1/2·（x y z）的實數解．

解：設√x=a，√(y-1)=b，√(z-2)=c，

則a^²=x，b^²=y-1，c^²=z-2，

從而x=a^²，y=b^² 1，z=c^² 2，

原方程化為：a b c=1/2·（a^² b^² c^² 3）．

設a、b、c的平均數為m，則a b c=3m，

從而a^² b^² c^²=2（a b c）-3=6m-3，

∴a、b、c的方差

s^²=1/3·（a^² b^² c^²-3m^²）

=1/3·（6m-3-3m²）

=-(m^²-2m 1)

=-(m-1)^²≤0，即s^²≤0，

又由性質①，知s^²≥0，

所以s^²=0，從而m=1，

故由性質②，得a=b=c=m=1．

所以√x=√(y-1)=√(z-2)=1，

所以x=1，y=2，z=3．

四、求最值

例6　已知實數a、b、c、d、e滿足

a 2b 3c 4d 5e=30，

設W=a^² 2b^² 3c^² 4d^² 5e^²，求W的最小值．

解：由已知，得a、b、b、…、e、e、e、e、e（即1個a、2個b、3個c、4個d、5個e）這15個數據的平均數為2，設它們的方差為s^²，則

s^²=1/15·（W-15×2^²）

=1/15（W-60）≥0，

所以W≥60，

所以W的最小值為60．

例7　設m、n、p均為正實數，且m^² n^²-p^²=0，求p/(m n)的最小值．

解：由已知，m^² n^²=p^²，

所以m、ｎ的方差

s^²=1/2{m^² n^²-2[(m n)/2]^²}

=1/2·[p^²-1/2·(m n)^²]≥0，

∴p^²≥1/2·(m n)^²，

又m、n、p均為正實數，

∴p^²/(m n)^²≥1/2，

所以p/(m n)≥√2/2．

故當m=n時，p/(m n)取最小值√2/2．

例8　求函數y=√(1 sinx) √(1-sinx)的最大值．

解：由已知函數，得√(1 sinx)與√(1-sinx)的平均數為1/2·y，

所以√(1 sinx)、√(1-sinx)的方差

s^²=1/2·[1 sinx 1-sinx-2(1/2·y)^²

=1/2·(2-1/2·y^²)≥0，

∴y^²≤4，y≤2，

故當√(1 sinx)=√(1-sinx)，

即sinx=1，x=90°時，y的最大值為2．

五、求字母取值範圍

例9　設實數a、b、c滿足 a^²-bc-8a 7=0……（1）

b^² c^² bc-6a 6=0……(2)

求a的取值範圍．

解：由已知，（2）-（1）得

b^² 2bc c^²=a^²-2a 1，

所以b c=±（a-1）；

（2） （1），得

b^² c^²=- a^² 14a-13．

故b、c的方差

s^²=1/2·{ b^² c^²-1/2·[(b c)/2]^²}

=1/2·[- a^² 14a-13-1/2·(a-1)^²≥0，

整理，得a^²-10a 9≤0，

解之，得1≤a≤9．

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