張四化(洞庭漁夫)

前兩天在網絡上無意間看到大數分解幾個字,查找資料也沒有找到想要的. 對于大數因式分解确實很難,真的沒有什麼好的方法嗎?

這讓我産生了好奇,好奇心就是這麼怪,使人開始胡思亂想起來.

//猜想到猜想理論固定公式:

猜想(或猜測/疑惑)-------學習相關知識------分析數據------ 猜想理論(或公式/一句話等)—反過來再用實例證明猜想理論的正确性.

//

第一步:猜想:如果能找到一個方法多好呀!

現在馬上到了第二步:

第二步: 學習相關知識:

資料來自百科

:

資料來自百科:

當然也找到些相關的素數篩選方法,《埃拉托斯特尼篩法》，簡稱根号法。

當看到:要得到自然數N以内的全部素數,必須把不大于根号N的所有素數的倍數剔除,剩下的就是素數.

我陷入了沉思,為什麼是對一個數開根号呢? 為什麼把不大于根号N的所有素數的倍數剔除,剩下的就是素數呢?,它真實的數理又是什麼呢?

反複查找相關資料,也沒有答案,隻是說有這種篩選法.還有好多的計算機編程之類的.

既然沒有答案,就去尋找看看吧!

又想起了我的序列數,多麼好的工具呀!(自然數之美中有詳細講解)

我又重新對它整理,把它變成我想要的樣子,好讓我來分析它,先看能不能找到為什麼是開根号的理由.

九組序列數變形如下:

多麼熟悉的序列數啊,又要用到它了.

對這九組序列數,我還是蠻有心得的.

其實，在我心中早就發現了自然數的另一面，并暗自給自然數下了如下定義:

第1點：素數是組成自然數的基石。

第2點：自然數是由素數、素數與素數乘積表達式組成的

第3點：素數與素數乘積表達式：A1n1*A2 n2* A3n3…Amnn (A1/A2/A3….Am為素數。n 1,n2,n3…nn,為素數的指數(取值自然數（包括零)）.當它們叁與運算時,指數是多少就是多少,不參與時,指數就是”0”

第4點:素數産生的原理:是前面的素數與素數乘積表達組合用盡,新的素數就一個一個産生了.比如:5這個數,前面隻有2和3兩個素數,2*2=4,所有的乘積組合用盡也無法表達5,2*3=6,後面的7無法表達,新的素數7就産生了.

請看我整理的序列數中:深黃色的就是素數.指數是1.其餘的要不是自身的指數或就是幾個的乘積表達.

雖然仁者見仁,智者見智,但我還是堅信自然數有這樣的一面.

接下來就到了第三步;

第三步:分析數據

因為根号篩選法與平方數是密不可分的.

如果知道平方數産生的數理,則根号篩選法則自然而然成立.

那就給它一個5這個數吧:5^2=25.那它前面的24,是怎來的呢?2^3*3=8*3=24. 仔細檢查了一下,隻有2^3*3剛好在落在了24,其餘的不是比它小,就是比它大.卻又無法表達25這個數.所以5的平方就産生了.與素數的産生多麼像呀.

例如：在25以前存在的素數有：23、19、17、13、11、7、5、3、2，在5的前面隻有素數：2、3，看它們參與了哪些數的運算：

素數2這個數：2、2*2=4、2*3=6、2^3=8、2*5=10、2^2*3=12、2*7=14，2^4=16、2^2*5=20、2*11=22、2^3*3=24。

素數3這個數：3、3^2=9、3*5=15、3^2*2=18、3*7=21。

23、19、17、13、11、7、5這些素數，有的隻是剛剛産生了，一次也沒有參與運算，有的就算參與運算，也隻是與2和3發生了乘積關系。

所在把2和3的倍數剔除。就隻剩下23、19、17、13、11、7、5這些素數了。這與我自己對自然數下定義不謀而合：自然數是由素數、素數與素數乘積表達式組成的

曾聽說過數具有對稱美,回想起曾學過的加法對稱美:

現在重新回顧一下：.

如:10以内的數,加起來等于10.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

以5為中心,向兩邊分離開來(或從兩邊向中心靠攏).

4 6 10,(5與4,6各相差1)

3 7=10,(5與3,7各相差2)

2 8=10,(5與2,8各相差3)

1 9=10,(5與1,9各相差4)

原來它們的對稱美是與數理有關的,與中心數剛好是等差數列，才具有對稱美。

既然我認為：自然數是由素數、素數與素數乘積表達式組成的

那麼數的乘積有沒有對稱美呢？

舉個例子：24這個數，

5^2-1=(5-1)*(5 1)=4*6。4與6剛好是5的左右各一個. 它們不就是與5對稱嗎?

再舉兩個例子：

（5-2）（5 2）=3*7=21

（5-3）（5 3）=2*8=16

猜想：乘積符合對稱美，平方差公式就是個好的開始。

這讓我興趣大漲.說真心話,平方差公式是目前能用得上僅有的學問啊,不用白不用.

不知不覺來到了第四步:

第四步:猜想理論(或公式/一句話等)

猜想一句話:平方差公式對任何奇合數進行因式分解.(偶數除外,因為任何偶數都可以被2因式分解)

既然要求奇合數進行因式分解,先給個具體的數，看能不能算出來?

又想到了根号篩選法篩素數.肯定不能給個剛好開根号的數.隻能随機選一個了,就33這個數吧,。

哎呀!具體開根号也記不得了，那就看一下大概位置吧.

5<33開根号的數值<6

33開根号的數值肯定是在5—6之間的.

因為36開根号等于6,根号法篩選法先借用一下,就以6為中心,看它具不具有對稱美.

先看它對稱的幾個數是什麼?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

先看它們的對稱數的乘積:

5*7=35

4*8=32

3*9=27

2*10=20(已經在5^2 25之下了,就算了)

先看上面的幾個數,隻有35/32/27.這三個數.(32偶數除外,先不考慮,主要考慮奇合數分解因式)

這是為什麼?

33不在這些數中,乘法應該符合對稱美呀？,為什麼少了數呢?是不是猜想出了問題?

還是先把33周邊的數從36與25統統寫下來再分析好了.

36 35 33 32 31 30 29 28 27 26 25

看到這裡:先排除36是6的立方數與25是5的平方數.去掉了兩個.還有好幾個.當然對于31是29素數這個我是知道的.不能因式分解,先不管它們.就剩下了33,30,28,26

對它們先進一下因式分解:

33=11*3

30=15*2或30=3*10

28=14*2或28=4*7(這個排除,6為中心時4與8相對)

26=13*2

還是以中心來考慮,它們的因式以什麼為中心呢?

上面出現了15這個數,還是把15以下的數寫出來好分析些

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

因為:11-3=8,8/2=4,所以:11-4=7,3 4=7,可以确定是以7為中心對稱的.也就理解了為什麼以6為中心2*10=20(已經在5^2 25之下了),是由于一個數開根号對應的根,以它為中心往兩邊對稱生成的數跨度超過了本身的平方數,也許這就是數理吧.

接下來就簡單了:

對7為中心的數:33

這裡要注意一個問題:26的産生應該在7為中心的對稱上的,但現在7右邊的數太少了,不滿足對稱,如果數足夠大就不會出現這種情況了.（備注：這個是最開始的想法，後面證明這種理解是錯誤的。這種偶數沒有對稱中心，後面會說明）

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

同樣的道理:以8為中心的數為:28. （備注：這種偶數有對稱中心，後面會說明）

所以乘法也符合中心對稱美這個規律;

接下來就用平方差公式來解33,

因為33是以7為中心:

所以得出:(7-N)(7 N)=33,49-N^2=33, N^2=16,N=±4.當然取正整數4,代入表達式中,(7-4)(7 4)=3*11. 33這個數太小，大家早就看出來。

雖然用這個方法是真的可以解得出來.但這樣一個一個去計算中心數也是麻煩。

舉個例子：3*37=111。對111這個數開根号，在10到11中間，但對稱中心數去到了20這個地方。

（20-17）*（20 17）=3*37=111

這個數不大呀，可對稱中心數移位太遠。

如果一個數很大，對稱中心數在哪裡，不是成了一個大問題嗎？

看來還得從數理上面來弄清楚它，才可能有解決的辦法？

還就用3*37=111，這個具體的數來做例子好了。

先給一個模型方便些：

對稱中心數的數值不斷地往右移動，中心線的數值發生變化？

當然我知道：3*37=111，這個是不變的。

既然猜想說乘積具有對稱性：那就看它每移動一個數，它們的乘積有什麼變化吧？

3*11*37=11*111。相當于在心中線的地方是11個111。

3*12*37=12*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

3*13*37=13*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

3*14*37=14*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

3*15*37=15*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

3*16*37=16*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

3*17*37=17*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

3*18*37=18*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

3*19*37=19*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

3*20*37=20*111，中心線數每增加1相當于加了一個111。

真的美妙呀！當然這不是因式分解（平方差）的形式，再試一下因式分解吧。

（11-3）*（37-11）=37*11-11^2-3*37 3*11

（12-3）*（37-12）=37*12-12^2-3*37 3*12

（13-3）*（37-13）=37*13-13^2-3*37 3*13

（14-3）*（37-14）=37*14-14^2-3*37 3*14

（15-3）*（37-15）=37*15-15^2-3*37 3*15

（16-3）*（37-16）=37*16-16^2-3*37 3*16

（17-3）*（37-17）=37*17-17^2-3*37 3*17

（18-3）*（37-18）=37*18-18^2-3*37 3*18

（19-3）*（37-19）=37*19-19^2-3*37 3*19

（20-3）*（37-20）=37*20-20^2-3*37 3*20

因為（20-3）*（37-20）=17^2,剛好是一個數17的平方。２０這就是想要的中心對稱位置，相當于１１加了９而得到的

隻有-3*37是不變的，其它的都随中心線的變化而變化。當然這是給定3與37這兩個數。這兩個為數本就是我要求的，現在如果給定一個增量N，而不知道3與37，能進行變形嗎？

先做些準備，用另外的未知量來求才是正解：

當然先知道某個數：設數為A，A=111，因為部分數是與這個數開根号具有對稱的。還是先給數A開根号。判斷數A落在哪兩個數中間(B>C).(如 :11>111開根号的數值>10,兩個數分别是B=11和C=10),設對稱中心為P，先給P賦值：P=11。先設定兩個數（D和F為兩個因式分解數，且D<F），N為增量，就是指對稱中心數偏移的數量。

基本圖形如下圖：

//注：比例大至差不多//

那就以P開始到P1結束，利用增量來改變一下因式分解的方法，N增量放前面，先找中心線的位置：

公式如下：

（N P）*（N P）

思路是隻要兩邊相等就可以滿足條件：如(9 11)*(9 11)=20^2=400.

它與前面的一個數P*P相比，又增加了多少量呢？

（N P）^2-P^2

賦一組具體的數給它們：

（1 11）^2-11^2=12*12-11*11=(12-11)*(12 11)=1*23=23

（2 11）^2-11^2=13*13-11*11=(13-11)*(13 11)= 2*24=48

（3 11）^2-11^2=14*14-11*11=(14-11)*(14 11)=3*25=75

（4 11）^2-11^2=15*15-11*11=(15-11)*(15 11)=4*26=104

（5 11）^2-11^2=16*16-11*11=(16-11)*(16 11)=5*27=135

（6 11）^2-11^2=17*17-11*11=(17-11)*(17 11)=6*28=168

（7 11）^2-11^2=18*18-11*11=(18-11)*(18 11)=7*29=203

（8 11）^2-11^2=19*19-11*11=(19-11)*(19 11)=8*30=240

（9 11）^2-11^2=19*19-11*11=(20-11)*(20 11)=9*31=279

最後一項給它一個變形

（N 11）^2=279 11^2=279 121=400,400剛好可以開平方，平方根就20(取正整數)就是中心數。

N 11=20，N=9，N僅為增量

再利用平方差公式：

（20-N1）*(20 N1)=111

400-N1^2=111

N1^2=289

N1=17

因此得到最終因式分解：（20-17）*（20 17）=3*37=111

再對它進行一下變形20^2-17^2=111

再變一下：（3 17）^2-17^2=111，由此猜想出以下理論。（請留意這些數據）

所以猜想對因式分解統一公式：： 公式說明：求數A因式分解，數A是任意一個自然數。Q是一個變量（Q從1從自然數開始取值,），N是一個變量，N則為數A因式分解的一個因子，Q N才是對稱中心數。另一個因式分解對應的因子是：2Q N，所以一個方程兩個變量，隻需要給變量Q賦值就可求解。

（N Ｑ）^2-Ｑ^2=A

//這裡有一個思維的跳躍，語言難以描述。

大概意思：相當于數A一定要增加一個平方數Ｑ^2,還要滿足能開平方，所以用Ｑ的增加來滿足這個條件。如此例中（3 17）^2-17^2=111，Ｎ＝３，Ｑ＝１７，就差不多這個意思。 //

現在到了第五步：

第五步：反過來再用實例證明猜想理論的正确性.

先還是給一個１１１這個數。

當然不用手來計算，而是用電腦來算，看一下結果如何？

具體如下圖：

所以奇數合數可以将所有的因式分解求出來。包括１*這個數本身。

下面給任意一個數６７１：

６７１分解成：１１*61=671, 1*671

前面有講過26這個偶數，為什麼我最開始的認為對稱中心7是錯的。

請看下圖。

因為這種偶數不符合對稱美。因為它是由13*2奇數與單個2與後形成的。比如它的中心數是13，1—13---26，不能組成等差組列，1至13是13個數，而上面要從14到26這裡也是13個數。所以不行。因此偶數大家都知道2是它的因子，不斷轉轉化為奇數後再求因式分解。最少這裡的計算公式是做不到這種偶數的。

又看28這個偶數為什麼可以呢？

來看它的對稱中心8：它的因式為：2*14，可以組成等差數列：2---8---14。因為28真成形成的原因是：2*2*7，它有兩個2的叁與。

所有偶數都無法以其自身二分之一求出：1*偶數本身量。因為1、偶數中心，偶數本身三者無法構成等差數列。是這個公式的缺陷吧。

再給一個素數71：

素數隻有一個解：1*71，沒有其它的解。因此這個可以作為判斷素數的依據。

所以最後做一個總結：

猜想對大數因式分解統一公式：

公式說明：求數A因式分解，數A是任意一個自然數。Q是一個變量（Q從1從自然數開始取值,），N是一個變量，N則為數A因式分解的一個因子，Q N才是對稱中心數。另一個因式分解對應的因子是：2Q N，所以一個方程兩個變量，隻需要給變量Q賦值就可求解。

（N Ｑ）^2-Ｑ^2=A

或（N Ｑ）^2=A Ｑ^2

由于無法表示根号符号，隻能用圖片

1、任何偶數先不斷除2轉化為奇數後，再對奇數求因式分解。（大偶數最終轉化為奇數）

2、對于任何奇數，則可以先用６求餘，餘數為３，則最少有３這個因子

３、對于如果一個奇數有且隻有一個解：１*這個數本身.可以判定這個奇數為素數.

4、對于奇數Q的賦值可以在[0--（Q/2 1)]之間取值。

賦值說明：對于素數判定還有一種特殊情況：對于任何主要是針對素數平方數而言。有如下變化，如7*7=49這種素數的平方數如果Q從1開始賦值，則沒有解。但它的表現是在第1排第一個；Q賦1時，非常接近的表現為：（7-1）*（7 1），而從Q賦0值時，就有解。

取上限（Q/2 1)因為數的對稱美。

5、對于偶數中，凡隻有一個素數2叁與的運算的數，如：2*3*5*7，2*3，2*5等則沒有因式分解。因為1與偶數中心和偶數本身三者無法構成等差數列。

6、公式中有兩個未知量：當然不是為手動計算而設計，主要是利用計算機來算，最好是編程。

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