均值不等式

當且僅當a＝b時等号成立）是一個重要的不等式，利用它可以求解函數最值問題。對于有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進行必要的變形才能利用均值不等式求解。

一、配湊

1. 湊系數

例1. 當

時，求的最大值。

解析：由知，

，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到

為定值，故隻需将湊上一個系數即可。

當且僅當

，即x＝2時取等号。

所以當x＝2時，的最大值為8。

小結：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數後可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

2. 湊項

例2. 已知

，求函數

的最大值。

解析：由題意知

，首先要調整符号，又

不是定值，故需對

進行湊項才能得到定值。

∵

∴

當且僅當

，即

時等号成立。

小結：本題需要調整項的符号，又要配湊項的系數，使其積為定值。

3. 分離

例3. 求

的值域。

解析：本題看似無法運用均值不等式，不妨将分子配方湊出含有（x＋1）的項，再将其分離。

當

，即

時

（當且僅當x＝1時取“＝”号）。

當

，即

時

（當且僅當x＝－3時取“＝”号）。

∴

的值域為

。

小結：分式函數求最值，通常化成

，g(x)恒正或恒負的形式，然後運用均值不等式來求最值。

二、整體代換

例4. 已知

，求的最小值。

解法1：不妨将

乘以1，而1用a＋2b代換。

當且僅當

時取等号，由

即

時，的最小值為

。

解法2：将分子中的1用

代換。

小結：本題巧妙運用“1”的代換，得到

，而

與

的積為定值，即可用均值不等式求得的最小值。

三、換元

例5. 求函數

的最大值。

解析：變量代換，令

，則

當t＝0時，y＝0

當

時，

當且僅當

，即

時取等号。

故

。

小結：本題通過換元法使問題得到了簡化，而且将問題轉化為熟悉的分式型函數的求最值問題，從而為構造積為定值創造有利條件。

四、取平方

例6. 求函數

的最大值。

解析：注意到

的和為定值。

又

，所以

當且僅當

，即

時取等号。

故

。

小結：本題将解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。

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