常用數集

自然數集

正整數集

整數集

有理數集

實數集

記法

N　

N＋或N*

Z

Q

R

集合

區間表示

區間名稱

{x|a≤x≤b}

[a，b]

閉區間

{x|a＜x＜b}

(a，b)

開區間

{x|a≤x＜b}

[a，b)

半開半閉區間

{x|a＜x≤b}

(a，b]

半開半閉區間

集合

區間表示

R

(－∞，＋∞)

{x|x≥a}

[a，＋∞)

{x|x＞a}

(a，＋∞)

{x|x≤b}

(－∞，b]

{x|x＜b}

(－∞，b)

實數

集合

定義

a≤b包含兩層含義：a＝b或a＜b

A⊆B包含兩層含義：A＝B或A⫋B

相等

若a≤b，且b≤a，則a＝b

若A⊆B，B⊆A，則A＝B

傳遞性

若a≤b，b≤c，則a≤c

若A⊆B，B⊆C，則A⊆C

若a＜b，b＜c，則a＜c

若A⫋B，B⫋C，則A⫋C

特性

含義

示例

确定性

集合的元素必須是确定的，因此，不能确定的對象不能組成集合，即給定一個集合，任何對象是不是這個集合的元素，應該可以明确地判斷出來

集合A＝{1,2,3}，則1∈A，

4∉A

互異性

對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的，因此，集合中的任意兩個元素必須都是不同的對象，相同的對象歸入同一個集合時隻能算作集合中的一個元素

集合{x，x2－x}中的x應滿足x≠x2－x，即x≠0且x≠2

無序性

集合中的元素可以任意排列

集合{1,0}和集合{0,1}是同一個集合

概念

不含任何元素的集合叫做空集

性質

1．空集是任意一個集合A的子集，即∅⊆A．

2.空集是任意一個非空集合A的真子集，即∅⫋A(A≠∅)

并集的

概念

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

并集的

性質

(1)①A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；②A∪A＝A，A∪∅＝A；③A∪B＝B∪A；

④(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)；

(2)若A⊆B，則A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，則A⊆B

交集的

概念

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

交集的

性質

(1)①(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∩B＝B∩A；

④(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)；

⑤(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)，(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)；

(2)若A⊆B，則A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，則A⊆B

補集的概念

∁UA＝{x|x∈U且x∉A}

補集的

性質

(1)∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A，A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅；

(2)若A⊆B，則∁UA⊇∁UB；反之，若∁UA⊇∁UB，則A⊆B；

(3)若A＝B，則∁UA＝∁UB；反之，若∁UA＝∁UB，則A＝B；

(4)①∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；②∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)

命題類型

否定

存在量詞命題：∃x∈M，p(x)

否定為全稱量詞命題：∀x∈M，¬p(x)

全稱量詞命題：∀x∈M，q(x)

否定為存在量詞命題：∃x∈M，¬q(x)

命題p

命題p的否定(¬p)

真

假

假

真

正面詞語

＝

＞(＜)

是

都是

任意(所有)

存在

至多有1個

至少有1個

或

且

否定詞語

≠

≤(≥)

不是

不都是

某個

不存在

至少有2個

1個也沒有

且

或

p與q滿足的關系

p是q的________條件

p⇒q且q不能推出p

充分不必要

p能推出q且q⇒p

必要不充分

p⇒q且q⇒p(p⇔q)

充要

p能推出q

且q能推出p

既不充分也不必要

等式的

性質

文字語言

符号語言

性質1

等式的兩邊同時加上同一個數或代數式，等式仍成立

如果a＝b，那麼對任意c，都有a＋c＝b＋c

性質2

等式的兩邊同時乘以同一個不為零的數或代數式，等式仍成立

如果a＝b，那麼對任意不為零的c，都有ac＝bc

不等式的性質

别名

性質内容

注意

性質1

可加性

如果a＞b，那麼a＋c＞b＋c

可逆

性質2

可乘性

如果a＞b，c＞0，那麼ac＞bc

c的符号

性質3

可乘性

如果a＞b，c＜0，那麼ac＜bc

c的符号

性質4

傳遞性

如果a＞b，b＞c，那麼a＞c

同向

性質5

對稱性

a＞b⇔b＜a

可逆

推論1

移項法則

如果a＋b＞c，那麼a＞c－b

可逆

推論2

同向可加性

如果a＞b，c＞d，那麼a＋c＞b＋d

同向

推論3

同向同正可乘性

如果a＞b＞0，c＞d＞0，那麼ac＞bd

同向同正

推論4

可乘方性

如果a＞b＞0，那麼a的n次方＞b的n次方(n∈N，n＞1)

同正

推論5

可開方性

如果a＞b＞0，那麼a的算數平方根＞b的算數平方根

同正

比較大小的方法

方法

依據

應用範圍

作差法

a－b＞0⇔a＞b；

a－b＝0⇔a＝b；

a－b＜0⇔a＜b

整式、分式的大小比較

比較大小的方法

作商法

a＞0，b＞0，

則a/b＞1⇔a＞b；

a/b＝1⇔a＝b；

a/b＜1⇔a＜b

乘積式、指數式的大小比較

a＜0，b＜0，

則a/b＞1⇔a＜b；

a/b＝1⇔a＝b；

a/b＜1⇔a＞b

乘方法

a的平方＞b的，且a＞0，b＞0⇒a＞b

無理數(式)的大小比較

十字相乘法

對于二次三項式Ex2＋Fx＋G，如果能找到a，b，c，d，使得E＝ac，G＝bd，且F＝ad＋bc，則Ex2＋Fx＋G＝(ax＋b)(cx＋d)

一元二次方程根與系數的關系

如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，那麼x1＋x2＝－b/a，x1x2＝c/a

重要不等式

a^2＋b^2≥2ab，當且僅當a＝b時，等号成立

基本不等式

(a b)/2≥√￣（ab）(a＞0，b＞0)，當且僅當a＝b時，等号成立

最值定理

設x，y都是正數.

(1)若x＋y＝S(和為定值)，則當x＝y時，積xy取得最大值；

(2)若xy＝P(積為定值)，則當x＝y時，和x＋y取得最小值.

說明：應用均值不等式求最值的條件為“一正、二定、三相等”

函數的圖像變換

平移變換

①函數y＝f(x＋a)(a≠0)的圖像可以由函數y＝f(x)的圖像沿x軸向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|個單位長度得到；

②函數y＝f(x)＋a(a≠0)的圖像可以由函數y＝f(x)的圖像沿y軸向上(a＞0)或向下(a＜0)平移|a|個單位長度得到

對稱變換

①函數y＝f(－x)的圖像可由函數y＝f(x)的圖像作關于y軸的對稱變換得到；

②函數y＝－f(x)的圖像可由函數y＝f(x)的圖像作關于x軸的對稱變換得到；

③函數y＝－f(－x)的圖像可由函數y＝f(x)的圖像作關于原點的對稱變換得到

翻折變換

①作函數y＝f(|x|)的圖像，可先作函數y＝f(x)的圖像，保留函數y＝f(x)的圖像在y軸上及y軸右側的部分，并将y軸左側的圖像換成y軸右側的圖像沿y軸翻折而成的圖像即可；

②作函數y＝|f(x)|的圖像，可先作函數y＝f(x)的圖像，保留函數y＝f(x)的圖像在x軸上及x軸上方的部分，并将x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方即可

條件

一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，且I⊆D，如果對任意x1，x2∈I，當x1＜x2時，都有

f(x1)＜f(x2)

f(x1)＞f(x2)

結論

則稱y＝f(x)在I上是增函數(也稱在I上單調遞增)

則稱y＝f(x)在I上是減函數(也稱在I上單調遞減)

圖示

自左向右圖像逐漸上升

自左向右圖像逐漸下降

判斷方法

任取x1，x2∈D，x1≠x2，那麼當x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔＞0⇔f(x)在區間D上單調遞增；

當x1＜x2時，f(x1)＞f(x2)⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔＜0⇔f(x)在區間D上單調遞減

函數

單調性

一次函數y＝ax＋b(a≠0)

a＞0時，在R上單調遞增；

a＜0時，在R上單調遞減

反比例函數y＝(a≠0)

a＞0時，單調遞減區間是(－∞，0)和(0，＋∞)；

a＜0，單調遞增區間是(－∞，0)和(0，＋∞)

二次函數y＝a(x－m)2＋n(a≠0)

a＞0時，單調遞減區間是(－∞，m]，單調遞增區間是[m，＋∞)；

a＜0時，單調遞減區間是[m，＋∞)，單調遞增區間是(－∞，m]

對勾函數y＝x＋(p＞0)

單調遞增區間是(－∞，－]和[，＋∞)，單調遞減區間是[－，0)和(0，].

f(x)

g(x)

f(x)＋g(x)

f(x)－g(x)

增函數

增函數

增函數

不能确定單調性

增函數

減函數

不能确定單調性

增函數

減函數

減函數

減函數

不能确定單調性

減函數

增函數

不能确定單調性

減函數

最大值

最小值

定義

一般地，設函數f(x)的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點

一般地，設函數f(x)的定義域為D，且x0∈D：如果對任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點

幾何意義

函數的最大值對應其圖像最高點的縱坐标

函數的最小值對應其圖像最低點的縱坐标

常用

結論

(1)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞增，那麼函數y＝f(x)，x∈[a，b]在x＝a處取得最小值，在x＝b處取得最大值；

(2)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞減，那麼函數y＝f(x)，x∈[a，b]在x＝a處取得最大值，在x＝b處取得最小值；

(3)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減，那麼函數y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b處取得最大值；

(4)如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增，那麼函數y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b處取得最小值

定義

的等

價式

奇函數定義的等價式：f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)；

偶函數定義的等價式：f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)

常

用

結

論

(1)如果一個奇函數在原點處有定義，那麼一定有f(0)＝0.有時可以用這個結論來判定一個函數不是奇函數；

(2)奇函數的圖像關于原點對稱，且在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數的圖像關于y軸對稱，且在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．上述結論可簡記為“奇同偶異”

f(x)

g(x)

f(x)＋g(x)

f(x)－g(x)

f(x)g(x)

f[g(x)]

偶函數

偶函數

偶函數

偶函數

偶函數

偶函數

偶函數

奇函數

不能确定奇偶性

奇函數

偶函數

奇函數

偶函數

奇函數

偶函數

奇函數

奇函數

奇函數

奇函數

偶函數

奇函數

軸

對

稱

函數y＝f(x)在定義域内恒滿足的條件

函數y＝f(x)的圖像的對稱軸

f(a＋x)＝f(a－x)

直線x＝a

f(x)＝f(a－x)

直線x＝

f(a＋x)＝f(b－x)

直線x＝

中

心

對

稱

函數y＝f(x)在定義域

内恒滿足的條件

函數y＝f(x)圖像

的對稱中心

f(a＋x)＋f(a－x)＝2b

點(a，b)

f(x)＋f(a－x)＝b

點

f(a＋x)＋f(b－x)＝c

點

零點的意義

方程f(x)＝0有實數根⇔函數y＝f(x)的圖像與x軸有交點⇔函數y＝f(x)有零點

函數零

點存在

定理

如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的，并且f(a)f(b)＜0(即在區間兩個端點處的函數值異号)，則函數y＝f(x)在區間(a，b)中至少有一個零點，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0

二分法

二分法的解題原理是函數零點存在定理. 通過二分法使有解區間逐步縮小，體現“無限逼近思想”

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函數

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的圖像

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根

有兩個相異的實數根x1＝，

x2＝

有兩個相等的實數根x1＝x2＝－

沒有實數根

一元

二次

不等

式的

解集

ax2＋bx

＋c＞0

(a＞0)

{x|x＜x1或x＞x2}

{x∈R|x≠－}

R

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)

{x|x1＜x＜x2}

∅

∅

根的分布

圖像

所需條件

x1＜x2＜k

k＜x1＜x2

x1＜k＜x2

f(k)＜0

x1，x2∈(k1，k2)

x1，x2中有且僅有一個在(k1，k2)内

f(k1)f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜－＜或f(k2)＝0，＜－＜k2