一. 構造函數解題

例1. （1）在實數範圍内解

。

（2）解不等式

方程與不等式都是高次的，展開求解是不現實的。根據其自身特點，分别作适當的變形，然後構造函數，再利用函數的有關性質求解。

（1）原方程變形為

。

設函數

，上述方程即為

。

由于

在

上是單調增函數，故若

，則必有

成立。因此

，即

，故原方程有唯一解。

（2）設

，

，易證f(x)在區間

上為增函數。

，

為奇函數，從而f(x)在區間

上為增函數，

原不等式可化為

，即

，即

。

說明：函數的單調性和奇偶性是函數的兩個十分重要的性質，要熟練掌握函數的圖象的幾何特征和代數含義，它們在研究方程、不等式中經常用到。

二. 構造一元二次方程解題

例2. 已知

三内角A、B、C的大小成等差數列，且

，求A、B、C的大小。

由題知，聯想到

，由A、B、C成等差數列，得

，故

。

是方程

的兩根，得

。當A<c時，</c

，得

；當

時，

，得

，

，

。

說明：由根與系數的關系來構造一元二次方程是最常見的思路，不可忽視。

三. 構造數列解題

例3. 已知

，求滿足

的正整數n的取值範圍。

解析：

因此可知數列

是以

為首項，以

為公比的等比數列。

。

，得

。所求n的取值範圍是。

說明：有一些與數列有關的問題或看似無關的問題（變量為正整數的函數），通過巧妙地構造出一個數列，其問題的本質能更好地凸顯出來，并能用數列的有關知識較簡捷地解答。

四. 構造幾何圖形解題

例4. 試證：對任何

，都有

，當有僅當

時等号成立。

觀察題目特點，從

聯想到餘弦定理，可以構造三角形，同理，另兩個根式也可構造三角形，利用幾何圖形進行證明。

根據題意構造圖形（如上圖），其中AB=a，BC=c，BD=b，

，由餘弦定理得：

在

中，

，則

。但當A、D、C三點共線時等号成立，此時，

，即

。

，即

說明：本題若不構造一個三角形，而是運用三角知識解題，直接将兩邊平方，則無論是用綜合法還是分析法，不僅計算過程十分複雜，而且很不容易說明。

例5. 設關于

的方程

在區間（0，

）内有相異的兩個實根

。求實數a的取值範圍。

設

，則由題設知，直線

與圓

有兩個不同的交點A（

）和B（

）。

即原點O到直線

的距離小于1，即

。

解得：

。

又因為

、

，且

，直線不過點（1，0），即

。

所以

，即

說明：将代數問題構造平面圖形後，用平面解析幾何的有關知識解題，實際上是數形結合思想的靈活應用。

--END--

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!