【問題提出】

（1）如圖①，在△ABC中，BC＝2，将△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△A′B′C′，則CC′＝_____；

【問題探究】

（2）如圖②，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝30°，點P為△ABC内一點，連接PA、PB、PC，求PA PB PC的最小值，并說明理由；

【問題解決】

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，AD＝4，∠ABC＝∠BCD＝60°．在四邊形ABCD内部有一點，滿足∠APD＝120°，連接BP、CP，點Q為△BPC内的任意一點，是否存在一點P和一點Q，使得PQ BQ CQ有最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）如圖①，根據等邊三角形的判定和性質解決問題即可．

（2）如圖②，将△ABP繞點B逆時針旋轉60°得到△BFE，連接PF，EC，作BH⊥EC于H．易證PA PB PC＝PC PF EF，因為PC PF EF≥EC，推出當P，F在直線EC上時，PA PB PC的值最小，求出EC的長即可解決問題．

（3）如圖③﹣1中，将△PBQ繞點B逆時針旋轉60°得到△EBG，則PQ＝EG，△BQG是等邊三角形，易知PQ BQ CQ＝EG GQ QC≥EC，推出EC的值最小時，QP QB QC的值最小，如圖③﹣2中，延長BA交CD的延長線于G，作△ADG的外接圓⊙O，将線段BO，BP繞點B逆時針旋轉60°得到線段BQ′，BE，連接EO′，OB，OP．易證△BEO′≌△BPO（SAS），推出EO′＝OP＝4√3/3，推出點E的運動軌迹是以O′為圓心，4√3/3為半徑的圓，推出當點E在線段CO′上時，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′．

本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉變換，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

【解答】（1）如圖①，由性質的旋轉可知：△BCC′是等邊三角形，

∴CC′＝BC＝2，故答案為2．

（2）如圖②，将△ABP繞點B逆時針旋轉60°得到△BFE，連接PF，EC，作BH⊥EC于H．

由旋轉的性質可知：△PBF是等邊三角形，∴PB＝PF，

∵PA＝EF，∴PA PB PC＝PC PF EF，

∵PC PF EF≥EC，∴當P，F在直線EC上時，PA PB PC的值最小，

易證BC＝BE＝BA＝3，∠CBE＝120°，

∵BH⊥EC，∴∠CBH＝∠EBH＝60°，EH＝CH＝BC•sin60°＝3√3/2，

∴EC＝2CH＝3√3，∴PA PB PC的最小值為3√3．

（3）如圖③﹣1中，将△PBQ繞點B逆時針旋轉60°得到△EBG，則PQ＝EG，△BQG是等邊三角形，

∴BQ＝QG，PQ＝EG，∴PQ BQ CQ＝EG GQ QC≥EC，

∴EC的值最小時，QP QB QC的值最小，

如圖③﹣2中，延長BA交CD的延長線于G，作△ADG的外接圓⊙O，将線段BO，BP繞點B逆時針旋轉60°得到線段BQ′，BE，連接EO′，OB，OP．

易證△BEO′≌△BPO（SAS），∴EO′＝OP，

∵∠APD ∠AGD＝180°，

∴A，P，D，G四點共圓，∴OP＝4√3/3，∴EO′＝4√3/3，

∴點E的運動軌迹是以O′為圓心，4√3/3為半徑的圓，∴當點E在線段CO′上時，EC的值最小，最小值＝CO′﹣EO′，

連接OO′，延長OO′到R，使得O′R＝OO′，連接BR，則∠OBR＝90°，作RH⊥CB交CB的延長線于H，O′T⊥CH于T，OM⊥BC于M．

本題源于經典數學名題費馬點問題，所謂的"費馬點"就是法國著名業餘數學家費馬在給數學朋友的一封信中提出關于三角形的一個有趣問題："在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小．"這個特殊點對于每個給定的三角形都隻有一個。它還有個特征，這個點跟其他三角形的三段點的連線構成的角度都是120°，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。如果存在一個點到三角形三個頂點的距離之和為最小,則這個點稱為費爾馬點。

關于求幾何最值問題，我們一般可以借助以下兩個公理來處理：

（1）定點到定點：兩點之間線段最短；（2）定點到直線：垂線段最短。

問題證明：情況一：當△ABC最大内角小于120°時， 以C點為旋轉中心，将△CDB 逆時針旋轉60度到△CEF位置。易知DB=EF，DC=CE=DE,DA DB DC=DA DE EF，顯然當A、D、E、F四點共線時，距離之和最短。當A、D、E共線時，∠CDA=120°，當D、E、F共線時，∠FEC=∠BDC=120°，所以D點應該對三個頂點的張角都為120°，這就是費爾馬點的位置。

情況二：當△ABC有一内角不小于120°時：很顯然此時點C就是費馬點，由此可知如果三角形有一個内角大于等于120°時，費馬點就是該内角頂點。

綜上所得：我們知道,當△ABC最大内角小于120°時,F在△ABC内部,且滿足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;當△ABC有一内角不小于120°時,F點與最大角的頂點重合。

因此，我們要想辦法把PA、PB、PC這三條分散的線段轉化為連續的折線，然後借助兩點之間線段最短找到符合條件的點P。在解決幾何最值問題過程中，我們常借助對稱變換、平移變換和旋轉變換，本題牽涉三條線段，因此我們可以考慮旋轉變換。

【問題拓展】

1．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，将BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM，則AM BM CM的最小值為_______．

【解析】如圖，連接MN，∵△ABE是等邊三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．

∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．

又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），∴AM＝EN，

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等邊三角形．∴BM＝MN．

∴AM BM CM＝EN MN CM．

根據"兩點之間線段最短"，得EN MN CM＝EC最短

∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM BM CM的值最小，即等于EC的長，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，∴∠EBF＝180°﹣120°＝60°，

∵BC＝4，∴BF＝2，EF＝2√3，在Rt△EFC中，

∵EF² FC²＝EC²，EC＝4√3．故答案為：4√3。

思考：本題可以用胡不歸的思想解決嗎？

2．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，将BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．

（1）證明：△ABM≌△EBN．

（2）當M點在何處時，AM BM CM的值最小，并說明理由．

（3）當AM BM CM的值最小值為√3 1時，則正方形的邊長為______ ．

【解析】（1）由題意得MB＝NB，∠ABN＝15°，所以∠EBN＝45°，容易證出△AMB≌△ENB；（2）根據"兩點之間線段最短"，當M點位于BD與CE的交點處時，AM BM CM的值最小，即等于EC的長；（3）過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF＝30°，設正方形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據勾股定理求得正方形的邊長為√2．

【小結與思考】費馬點模型,解決到3個點距離最短問題的利器.通過旋轉變換，可以改變線段的位置，優化圖形的結構。一般地，當題目出現等腰三角形/等邊三角形或正方形條件時，可将圖形作旋轉60°或90°的幾何變換，将不規則圖形變為規則圖形，或将分散的條件集中在一起，以便挖掘隐含條件，從而解決問題。此外，大家還可以思考如何尋找不規則四邊形或n邊形的"費馬點"！

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