【考綱要求】

1.了解有理數、無理數、實數的概念；借助數軸理解相反數、絕對值的概念及意義，會比較實數的大小；

2.知道實數與數軸上的點一一對應，會用科學記數法表示有理數，會求近似數和有效數字；了解乘方與開方、平方根、算術平方根、立方根的概念，并理解這兩種運算之間的關系，了解整數指數幂的意義和基本性質；

3.掌握實數的運算法則，并能靈活運用；

4.逐步形成數形結合、分類讨論、建模思想.

【知識網絡】

【考點梳理】

考點一、實數的分類

1.按定義分類：

2.按性質符号分類：

有理數：整數和分數統稱為有理數或者"形如（m，n是整數n≠0）"的數叫有理數．

無理數：無限不循環小數叫無理數．

實數：有理數和無理數統稱為實數．

要點诠釋：

常見的無理數有以下幾種形式：

（1）字母型：如π是無理數，等都是無理數，而不是分數；

（2）構造型：如2.10100100010000…（每兩個1之間依次多一個0）就是一個無限不循環的小數；

（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數；

（4）三角函數型：sin35°、tan27°、cos29°等.

考點二、實數的相關概念

1.相反數

（1)代數意義：隻有符号不同的兩個數，我們說其中一個是另一個的相反數．0的相反數是0；

（2)幾何意義：在數軸上原點的兩側，與原點距離相等的兩個點表示的兩個數互為相反數；

（3)互為相反數的兩個數之和等于0.a、b互為相反數a b=0.

2.絕對值

（1)代數意義：正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．

可用式子表示為：

（2)幾何意義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離．距離是一個非負數，所以絕對值的幾何意義本身就揭示了絕對值的本質，即絕對值是一個非負數．

用式子表示：若a是實數，則|a|≥0．

3.倒數

（1)實數的倒數是；0沒有倒數；

（2)乘積是1的兩個數互為倒數．a、b互為倒數.

4.平方根

（1)如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根．一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根．a（a≥0）的平方根記作．

（2)一個正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根．a（a≥0）的算術平方根記作．

5.立方根

如果x3=a，那麼x叫做a的立方根．

一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；0的立方根仍是0．

要點诠釋：

若則則表示的幾何意義就是在數軸上表示數a與數b的點之間的距離.

考點三、實數與數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸，數軸的三要素缺一不可．

每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示，反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數．

要點诠釋：

（1）數軸的三要素：原點、正方向和單位長度.

（2）實數和數軸上的點是一一對應的.

考點四、實數大小的比較

1.對于數軸上的任意兩個點，靠右邊的點所表示的數較大.

2.正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數；兩個負數；絕對值大的反而小.

3.對于實數a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.

4.對于實數a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.

5.無理數的比較大小：

利用平方轉化為有理數：如果a>b>0， a2>b2a>b；

或利用倒數轉化：如比較與.

要點诠釋：

實數大小的比較方法：（1）直接比較法：正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數；兩個負數，絕對值大的反而小.（2）數軸法：在數軸上，右邊的數總比左邊的數大.

考點五、實數的運算

1.加法

同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加；絕對值不相等的異号兩數相加，取絕對值較大的加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得0；一個數同0相加，仍得這個數．

滿足運算律：加法的交換律a b=b a，加法的結合律(a b) c=a (b c)．

2.減法

減去一個數等于加上這個數的相反數．

3.乘法

兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘.

幾個非零實數相乘，積的符号由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正；當負因數有奇數個時，積為負．幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0．

乘法運算的運算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對加法的分配律a(b c)=ab ac．

4.除法

（1）除以一個數，等于乘上這個數的倒數．

（2）兩個數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數都得0．

5.乘方與開方

（1)求n個相同因數的積的運算叫做乘方，a所表示的意義是n個a相乘.

正數的任何次幂是正數，負數的偶次幂是正數，負數的奇次幂是負數．

（2)正數和0可以開平方，負數不能開平方；正數、負數和0都可以開立方．

（3)零指數與負指數

要點诠釋：

（1）加和減是一級運算，乘和除是二級運算，乘方和開方是三級運算．這三級運算的順序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果沒有括号，同一級運算中要從左至右依次運算．

（2）實數的運算律　 　加法交換律：a b=b a　　 加法結合律：(a b) c=a (b c)　　 乘法交換律：ab=ba　　 乘法結合律：(ab)c=a(bc)　　 乘法分配律：(a b)c=ac bc

考點六、有效數字和科學記數法

1.近似數　　一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精确到哪一位．精确度的形式有兩種：（1）精确到哪一位；（2）保留幾個有效數字.

2.有效數字　　一個近似數，從左邊第一個不是0的數字起，到精确到的數位為止，所有的數字，都叫做這個近似數的有效數字．

3.科學記數法

把一個數用±a×10（其中1≤＜10，n為整數）的形式記數的方法叫科學記數法．

要點诠釋：

（1）當要表示的數的絕對值大于1時，用科學記數法寫成a×10，其中1≤＜10，n為正整數，其值等于原數中整數部分的數位減去1；

（2）當要表示的數的絕對值小于1時，用科學記數法寫成a×10，其中1≤＜10，n為負整數，其值等于原數中第一個非零數字前面所用零的個數的相反數（包括小數點前面的零）.

考點七、數形結合、分類讨論、建模思想

1.數形結合思想　　實數與數軸上的點一一對應，絕對值的幾何意義等，數軸在很多時候可以幫助我們更直觀地分析題目，從而找到解決問題的突破口；

2.分類讨論思想

（算術）平方根，絕對值的化簡都需要有分類讨論的思想，考慮問題要全面，做到既不重複又不遺漏；

3. 從實際問題中抽象出數學模型

　以現實生活為背景的題目，我們要抓住問題的實質，明确該用哪一個考點來解決問題，然後有的放矢.

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