這個問題讓我們從曲線的微分開始說起。

1 曲線的微分

比如，有曲線

:

給出

的曲線段:

要找到一個直線段來近似這個曲線段，也就是找到這個曲線段的微分：

此微分的特點是，當

時，越來越逼近曲線段：

2 切線

這個微分其實就是切線。

2.1 最初印象

初學幾何的時候，切線是這麼定義的：

比如這就是圓、橢圓的切線：

但是這個定義推廣到所有曲線上是不成立的：

2.2 割線的極限

我們需要用極限來定義切線。比如說，要求曲線

在

點的切線：

在

附近找一點

，過兩點作直線

，這根直線也稱為割線：

然後尋找

與

之間的點

，作出割線

：

以此類推，找到點

，作出割線：

把這些割線組成數列：

它的極限

就是切線：

3 導數

剛才隻是給出了切線的定義，但是還是不能把切線求出來。下面來看看怎麼求。

3.1 斜率

要求

點的切線，知道了

點坐标為

，以及切線的斜率：

其中

，根據直線的點斜式，可求得切線函數

：

就可以得到切線的函數。

3.2 導數

容易有以下推論：

所以來看看割線的斜率怎麼求吧。假設要求

點的切線的斜率，随便在附近找一點

作割線：

可以看到當

的時候（這也表明了切線是割線的極限），兩者斜率不斷逼近：

先把割線的斜率

算出來，假設

：

因此：

根據剛才的分析可知：

這個極限就被稱為 導數 。

如果，不光在

點可以作出切線，也就是不光在

點可導，而是在某個開區間

内都可導，這就是 導函數 ：

不少教科書、文檔會出現如下的符号，這裡也一并引入：

定義

，稱之為 D算子 ，導函數可以用之表示為：

有時候寫作

，表明對自變量

求導。

算子，英文為“operator”，操作的意思。

算子和函數還是很接近的，隻是有以下區别：

在這裡，

算子完成了如下函數之間的映射：

4 切線函數與微分函數

好了，咱們有了導數，可以來求切線函數以及微分函數了。

4.1 切線函數

就切線而言，知道要經過

，也知道斜率是導數

，可以用直線的點斜式得到切線函數：

4.2 微分函數

雖然之前一直說切線就是微分，但是微分函數和切線函數有所不同，因為它們在不同的坐标系。讓我們一步步來，把這個關鍵點說清楚。

首先令

，切線函數就變為了：

然後在以

點為原點建立直角坐标系（姑且稱為微分坐标系吧）：

以

點為原點建立的微分坐标系中有，

。這樣在微分坐标系中切線方程就很簡單了：

經過一系列操作終于得到了微分函數：

數學上把一系列操作用一個符号

來表示，也可稱為 d算子 ：

微分

算子完成了下列的函數映射：

所以微分函數也寫作：

表示把原函數

通過

操作變為了微分函數

，這樣也區别了微分函數和

坐标系的不同。

，因為

是變量，所以

實際上表示的是整個

軸：

因為

代表

軸這根直線，而直線的微分，根據以直代曲的思想，其實就是自己，所以：

因此，這就是微分的代數形式：

切線函數和微分函數的區别在于，前者在

坐标系下，後者在

坐标系下：

因為微分的代數形式如上，所以導數也可以記作：

所以導數也稱為“微商”，即微分與微分的商。

4.3 微分的自變量、因變量

本節一直都在說，微分是函數：

那麼它的自變量是什麼，因變量是什麼？

微分函數在

坐标系下，令

，換元之後就回到了

坐标系：

可見，自變量是

，因變量是

。

如果不光是求

點的微分，就像導函數一樣，求某個開區間的微分，那麼微分函數是二元函數：

4.4 微分是線性函數

雖然兩者都是直線，但因為所在坐标系不同，所以切線函數和微分函數有一個重大的區别：

這個區别說明：

根據微分是線性函數這點，我們可以很方便地運用線性代數的知識來求解法線函數。

4.5 法線函數

在切點與切線垂直的直線就是法線：

放在

坐标系中，随便找到切線方向、法線方向兩個向量：

即（t代表tangent，n代表normal，分别是英文的切線和法線）：

根據線性代數的知識，知道兩個正交向量點積為0，因此：

所以：

知道法線斜率，并且知道過

，就可以求出

坐标系下的法線函數：

線性代數的相關知識對理解微積分很有好處，因為微積分的本質是“線性逼近，以直代曲”。

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