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作者，Sean Li 。

翻譯，伯努利數，哆嗒數學網翻譯組成員。

數學中有許多非常枯燥的事情。例如誰會關心(半徑為r的)圓的面積是πr²，或者“負負得正”呢？為什麼？也許我們可以在最出乎意料的結果上找到答案，反直覺的事實有時候甚至騙過了最好的數學家。

1、 生日悖論

生日悖論是說如果一個房間裡有23個人，那麼有兩個人生日是同一天的概率将大于50%。這事實看起來很違反直覺，我們都知道在任何一個特定的日子裡某人過生日的概率是1/365。

這種差異源于我們隻要求兩個人彼此擁有同一天生日即可。不然，若我們考慮的是在某人在某個特定的日子過生日，例如3月14日，那麼23個人中，出現這種事的概率是6.12%。

換句話說，如果一個房間有23個人，而你又選擇了某人X，并問他：“有人和你是同一天生日嗎？”，答案很可能是否定的。但如果對其他22個人重複同樣的行為，每問一次，你會更有機會得到肯定答複，最終我們會看到，這個概率将會超過50%（準确的說是50.7%）

2、 曼德勃羅集

德勃羅集是一個複數集，考慮函數f(z)=z² c，c為複常數，在這為參數。若從z=0開始不斷的利用f(z)進行叠代，則凡是使得叠代結果不會跑向無窮大的c組成的集合被稱為曼德勃羅集。規則不複雜，但你可能沒預料到會得到這麼複雜的圖像。

當你放大曼德勃羅集時，你會又發現無限個小的曼德勃羅集，其中每個又亦是如此...（這種性質是分形所特有的）

這真的很契合那句俗話“大中有大，小中有小”，下面有一個關于放大他的視頻，我想這絕對令人興奮不已。

如果你看了這些視頻後仍然不覺得這些純數學令人感到驚訝，那我也不知說什麼好了。

3、 巴拿赫-塔爾斯基悖論

巴拿赫-塔爾斯基悖論是說，你可以将一個圖形拆分後拼成兩個各自和原先大小完全相同的圖形。更特别的，它聲稱，對于一個3維實心球，可以将其分成有限份，而後拼成各自與原先的實心球大小完全相同的實心球。

很明顯，這可是高度反直覺的。并且它被許多數學家視作數學中最為反常的一個結果。畢竟，在現實中，我們從未見過任何一個物體能憑空被複制成兩個。事實上，它似乎挑戰了物理中的質量守恒定律，即質量(在位移和旋轉下)是不變的。但這個結果并非如此，似乎是在說一個物體的質量可以憑空變為原來的兩倍？

不過，如果原來的質量是無限大的話。容易注意到無限大翻倍後還是無限大，那麼從技術上看我們并沒有打破物理法則。對于這個悖論更深層次的解釋，可以搜搜其他相關的文章。

4、 蒙提霍爾問題

這個聲名狼藉的問題表述如下：

假設你正參加一個遊戲秀，給予了你拿走你選中的三扇門中的一扇門後的物品的自由。其中一扇後有轎車，另外兩扇後各是一頭羊，但你并不知道門後的物品。你選擇一扇門後，記這扇門為1号門，而主持人知道門後的物品，打開了另外一扇門後有羊的門，記為3号門。然後主持人問道：“哪扇門後有羊呢？你想選擇2号門嗎？”。這時改變你的選擇會對你更有利嗎？

我問的人中，沒有一個人能第一次就回答對。令人詫異的是，答案是最好換一扇門。

與其試着解釋其中的緣由，我更希望推薦你們閱讀維基百科的相關條目，闡述的非常到位，下面的故事也一樣非常有趣：

“問問瑪麗蓮(Ask Mailyn)”的許多讀者都不願相信換門會導緻更好的結果，而并不在意瑪麗蓮的解釋。這個問題出現在Parade雜志後，有接近一萬名讀者，甚至包括接近一千名PhD寫信給雜志，他們當中大部分都認為瑪麗蓮是錯的。甚至在給予了解釋、模拟、數學證明後，許多人依舊不能接受換門是最佳策略。甚至埃爾德什（Paul Erdos），史上最多産的數學家，直至在他看到電腦模拟證實以後，才能打消他的疑慮。

這一課告訴了我們，不要輕信自己的直覺。

5、 “加百列的号角”與油漆匠悖論

了解微積分的學生或許熟悉，“加百列的号角”是一個體積有限表面積無窮大的物體（用微積分的知識可以清晰地發現這一點）。

而它若在現實中，如果試着去漆上它，則會導緻一些問題。油漆匠佯謬是說，我們可以填滿這個号角（體積有限），但是卻不可能完完全全的漆上它（表面積無限）。

“科赫雪花”是一種奇特的形狀，與上例類似，它具有有限面積無限周長。事實上，第二個提到的曼德勃羅集也具有一樣的性質！

6.巴塞爾問題

巴塞爾問題說，如果你将自然數各自平方取倒數加在一起，那麼你會得到π²/6。

如果你是正常而且心智健全的人類，那麼左邊的這堆東西和π，這個圓的周長與直徑的比值，會有如此聯系這件事可能完全出乎了你的意料。

7、 阿貝爾不可解定理

你們大部分人在中學都接觸過二次方程，也知道怎麼解次數為2的多項式方程 ax² bx c = 0。

但我們的故事并不到此為止。在16世紀，數學家解出了一元三次方程，即ax³ bx² cx d = 0。它對應的求根公式更為複雜：

感謝老天你并沒有在中學學到這個，但讓我們看得更遠一點，怎麼求解一元四次方程關于這一點，下面的求根公式可謂是駭人了：

我敢打賭你并沒有看完它的整個細節。

現在讓我們松口氣，因為我并不繼續要向你們展示後續的求根公式了，因為一元五次方程的求根公式并不存在！并不是說至今還沒有找到，我們确确實實的證明了它并不存在。事實上任何高于五次次的一元多項式都沒有求根公式。

8、 有不同層次的無窮大

是的，有一些無窮大比其他的無窮更大。從學術角度而言，無窮大應該被稱為基數，并且一個無窮大如果比另一個無窮大擁有更大的基數，則說它比另一個無窮大要大。（常規的自然數也是基數，但是無窮大的基數總是大于任何一個自然數的基數）

仍然有許多關于無窮大的基數的反直覺事實，例如，整數比奇數多嗎？你可能理所當然的肯定，因為整數多出了一系列的偶數。但答案是否定的，因為他們擁有相同的基數。有理數多于整數嗎？不，有理數與整數也一樣多。

但是，康托發現實際上實數比有理數還要多。實數通常被認為是連續統，并且很長一段時間中，有過猜想，但至今并不能清晰的知道，是否有介于整數基數和連續統基數的無窮大？這個猜想被稱為連續統猜想。

随後被發現，連續統猜想在通常意義下既非真也非假。它被證明并不能被證明或被證明為假（多讀幾遍，有點饒舌）。準确的說，保羅柯恩證明了連續統假設是獨立于ZFC公理體系的，這是數學集合論中的标準公理體系。

9、 哥德爾不完備定理

簡單的說，我們證明了有一些東西是不能被證明的。這個結果有大量初等的嚴格表述，我簡單叙述如下：

(1) 任何一個足夠強的系統存在一個命題既不能被證明也不能被證僞（例如連續統假設）

(2) 任何一個足夠強的系統都不能證明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾

以上兩條定義即著名的哥德爾不完備定理。顯然，這些結果蘊含了巨大的意義，并不僅僅是數學上的，也有哲學上的。

10、 費馬大定理

畢達哥拉斯定理聲稱，對于任何一個直角三角形，都有a² b²=c²。現在假定這些變量都是正整數。那麼顯然有解a=3,b=4,c=5,但是a=1.5,b=2,c=2.5就不對了，即便它也使得等式成立。可以發現，顯然有無窮多對使得a，b，c都是整數的解。

但如果我們進一步考慮下面的問題呢，有多少對正整數解滿足 a³ b³=c³？答案是沒有。就算再把指數3換成5也如出一轍，也無解。

事實上，費馬大定理稱，任何指數大于2的上述等式，沒有任何一組正整數。這個著名的問題在1637年作為猜想提出，花費了将近四個世紀才被解決，最終被安德魯懷爾斯于1995年解決。

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