作者 | 陳躍

來源 | 科學出版社數學教育

編者按

按照俄國數學家沙法列維奇的觀點，代數幾何在20世紀現代數學的發展曆史中占據着一個相對中心的位置。抽象代數、代數拓撲與微分拓撲、整體微分幾何以及分析學中的許多重要理論都是因代數幾何研究的需要而提出的。我們不妨可以簡單地将代數幾何看成是“用多項式研究幾何、用幾何的想法研究多項式”的學科。特别是從代數幾何中體現出來的代數與幾何相互作用的方式，具有普遍的意義，目前這種思想方法已經滲透到了幾乎所有的現代數學各主要分支學科中。

本文作者陳躍，原文題目《什麼是代數幾何》，因文章長度限制将文章分成兩部分：

第1部分《一文搞懂代數幾何發展史（一）》為20世紀早期及以前的很長一段時間内數學家們對代數簇的深入研究；

第2部分《一文搞懂代數幾何發展史（二）》講述從将抽象代數方法引入代數幾何到概形理論的創立這一時期的發現情況。

歡迎品鑒，一文搞懂代數幾何發展史。

按照俄國數學家沙法列維奇的觀點，代數幾何在20世紀現代數學的發展曆史中占據着一個相對中心的位置。抽象代數、代數拓撲與微分拓撲、整體微分幾何以及分析學中的許多重要理論都是因代數幾何研究的需要而提出的。在大多數20世紀基礎數學重大進步（例如獲得菲爾茨獎和沃爾夫獎的工作）的背後，總能看到代數幾何的影子。例如獲得沃爾夫獎的陳省身與丘成桐兩位先生最重要的工作就與代數幾何密切相關：陳（省身）示性類被深刻地推廣與運用到代數幾何中，而著名的卡拉比-丘（成桐）流形則是目前代數幾何中最熱門的研究對象之一。本文将簡要回顧代數幾何的發展曆史，從中可以幫助我們了解這個頗為神奇的數學分支學科。

簡單來說，代數幾何的主要研究對象是“代數簇”(algebraic variety)，最簡單的代數簇(也稱為仿射代數簇)是一組多元多項式的零點集合。對代數簇的研究實際上從古代希臘就開始了，兩千年前的古希臘數學家們所熟悉的直線、圓、圓錐曲線、三次曲線等代數曲線和平面、球面、柱面和二次曲面等代數曲面都屬于隻用一個多項式來确定的代數簇。在沒有直角坐标系的條件下，阿波羅尼烏斯(Apollonius)運用在今天看來很笨拙的綜合幾何方法對圓錐曲線作了十分詳盡的研究，發現了它的許多性質。到了近代法國數學家笛卡爾(Descartes)和費馬(Fermat)能夠用解析幾何方法來研究任意代數曲線方程的時候，事情就發生了質的飛躍。古代希臘數學家由于沒有代數工具，他們隻能局限于研究低次代數方程所表示的曲線或曲面，而有了解析幾何之後，在理論上就可以讨論任意次數的代數曲線或曲面，從而就可以把所有的幾何問題都轉化為代數問題來解決。費馬還證明了所有非退化的二次曲線都是圓錐曲線。微積分的發明者之一、數學家牛頓對三次平面曲線進行了初步的分類(共有72種)，而歐拉(Euler)則對所有的二次曲面進行了分類。

圖1：笛卡爾

在17世紀時，德沙格(Desargues)通過研究畫家的透視方法而形成了射影對應的概念，他還引進了無窮遠點的概念。在普通的歐氏平面和空間中加入了無窮遠點後，就得到了緊緻的射影平面和射影空間，它們是許多經典代數簇所在的空間。另一方面，歐拉的虛數概念的引入也完成了代數方面的“封閉化”，由此可以簡化數學命題的叙述。例如在射影平面中，非退化的二次曲線隻有一種(在普通歐氏平面中要分為橢圓、雙曲線和抛物線這三種曲線)，并且三次曲線不是牛頓所分的72種，而是隻有三種曲線。

圖2：牛頓

牛頓和萊布尼茨(Leibniz)還用所謂的“消去法”得到了确定兩條代數曲線相交點的方程組(即大學高等代數課本中的“結式”方程組)。在此基礎上，數學家貝祖(Bézout)證明了著名的貝祖定理：設C和C’是次數分别為m和n的平面射影複曲線，則C和C’相交于mn個點(計入重數)。例如從表面上看，複射影平面内的一條直線與一條抛物線的相交情形一共有四種：交于兩點、交于一點、相切與無交點。但其實直線與抛物線交于一點時，它們還相交于抛物線上的無窮遠點，而相切可以理解成它們相交于兩個重合在一起的點，至于不相交的情形，則可以看成是它們相交于複平面上的兩個被稱為“圓點”的虛的無窮遠點。這樣，一次的直線與二次的抛物線在複射影平面上總有1×2＝2個交點。又如一個橢圓與一條三次曲線總是相交于2×3＝6個交點等等。貝祖定理實際上是代數幾何中一個重要小分支——相交理論的起點。

圖3 萊布尼茨

到了19世紀上半葉的射影幾何理論正式登場後，才初步形成了一些關于複代數曲線與複代數簇的代數幾何定理。以法國數學家龐斯列(Poncelet)為代表的一批數學家建立了射影幾何的系統理論，總結和整理了大量的射影幾何命題和方法，特别是射影變換的理論。例如可以将圓錐曲線看成是兩個相互射影對應線束的對應直線的交點軌迹等。在射影幾何裡還有一些涉及到計數幾何(enumerative geometry)的定理，例如可以證明每個三次代數曲面上都有27條直線、每條非退化四次平面代數曲線都有28條與曲線同時相切兩次的雙切線、與5條已知圓錐曲線都相切的圓錐曲線一共有3264條等結論。

黎曼是19世紀最偉大的數學家。他在研究阿貝爾積分理論的過程中提出了内蘊的“黎曼面”的概念和黎曼面上代數函數的理論。阿貝爾積分是複變函數論中與複代數曲線緊密相關的一種複積分，它來源于微積分中更早的“橢圓積分”，而研究橢圓積分的最初目的則是為了計算橢圓的周長(我們在微積分裡已經知道，類似于求橢圓周長的這種定積分是沒有原函數的，它們隻能通過近似計算的方法來求出定積分的值)。現在在複平面内，如果f(x,y)是一個二元複多項式，那麼f(x,y)＝0就定義了一條複代數曲線，注意在這裡可以取複數值的x和y都是實2維的複變量，因此複平面就可以看成是實4維空間，而相當于兩個實數等式的複數等式f(x,y)＝0實際上又确定了兩個4維空間中的曲面，由于每增加一個實數等式就相當于減少一個幾何維數，于是複代數曲線f(x,y)＝0實際上就是一個4－2＝2維的實曲面。這樣，每一條複代數曲線都對應了一個抽象的被稱為黎曼面的幾何對象。黎曼的初始目标是對黎曼面上所有的阿貝爾積分進行分類，由此出發他得到了一系列刻畫黎曼面性質的重要定理。由黎曼面與代數曲線的對應關系可知，他實際上是得到了不少關于代數曲線理論的重要成果，因此我們可以講，是黎曼首創了用分析來研究代數曲線的方法。

圖4 黎曼

黎曼首次發現了“虧格”這一現代幾何的基本概念(對應了幾何對象上“洞”的個數)，并提出了代數幾何中最基本的雙有理變換的思想。雙有理變換是一種比射影變換更加寬泛的變換，它能夠保持代數曲線的虧格不變，并且此時兩條代數曲線上的有理函數域一定是同構的。注意到有理函數域是一個代數對象，因此這實際上就是建立了幾何與代數之間的初步聯系。從黎曼的時代到現在，從某種程度上說，整個代數幾何主要就是在研究一般代數簇的雙有理分類問題。黎曼和他的學生羅赫一起還發現了著名的(代數曲線上的)黎曼-羅赫定理，這個定理反映了代數曲線上的由全體有理函數組成的線性空間的性質是如何受到虧格這一幾何不變量控制的。這個深刻定理後來在20世紀被推廣到了高維代數簇的情形，并直接導緻了著名的阿蒂亞-辛格指标定理的發現。

黎曼在1854年的著名演講中所給出n維黎曼流形的初步概念，不僅僅是為了研究物理學意義上幾何空間的需要，其實也是在為探索一般的高維代數簇性質所做的準備工作。黎曼在曆史上第一次發現，在一般的高維微分流形上也可以設置任意的度量。他經過推算發現了刻畫黎曼流形局部幾何性質的主要不變量——黎曼曲率張量。這些張量實際上成為了現代整體微分幾何發展的起點，并且最終都會通過某種形式進入到了代數幾何的理論中。更令人難以置信的是，黎曼在研究數論時所提出的大名鼎鼎“黎曼猜想”，後來竟也變成了推動代數幾何發展的強大動力！所謂的黎曼猜想是說：複變函數黎曼函數的全部複零點的實部都等于。黎曼猜想是一個内涵極其豐富的猜想，它應該是現代數學中還沒有被證明的最重要的猜想。

代數數論的研究其實也是推動代數幾何理論發展的另一個重要來源。為了研究代數數域的需要，19世紀的德國數學家克羅内克(Kronecker)和戴德金(Dedekind)等人引入理想、賦值和除子等基本概念。以這些數學家為代表的“代數學派”的工作目标是設法對黎曼用分析方法給出的結果試圖作出純代數的證明，毋庸置疑，這對代數幾何這門學科的性質來講是至關重要的。與此同時，以馬克斯·諾特(Max Noether)和克萊布施(Clebsch)為代表的“幾何學派”繼續從經典射影幾何的角度研究複代數曲線，他們發現了平面曲線奇點解消的“脹開”(blow up)方法。

從19世紀末期開始，代數幾何的發展進入了一個新的曆史階段。以皮卡(Picard)和龐加萊(Poincaré)為代表“分析學派”試圖将黎曼的複代數曲線理論推廣到複代數曲面上。雖然這裡的(複的)維數僅僅增加了一維，但是與代數曲線的情形完全不同，研究代數曲面需要克服許多困難，難度極大。例如在複三維的空間中，如果g(x,y.z)是一個三元複多項式，那麼g(x,y.z)＝0就是一個複代數曲面。與複代數曲線類似，g(x,y.z)＝0實際上确定了實6維空間中的一個6－2＝4維的實微分流形。

在研究代數曲面的過程中，非常需要了解高維流形的拓撲性質。法國數學家龐加萊為此首創了代數拓撲的同調(homology)理論。為了弄清楚黎曼所說的高維“貝蒂(Betti)數”到底是什麼，龐加萊開始建立單純複形的同調理論，以便能夠嚴格地證明黎曼的直觀猜想。他從1895開始，寫出了著名的關于同調理論的一系列文章。其大緻的想法是，先将代數簇進行三角剖分後得到一系列單純形，然後就能夠以此構造出單純同調群(其實也是線性空間)，這樣，每個貝蒂數就分别是這些線性空間的維數，它們都是拓撲不變量，可以用來刻畫代數簇的幾何性質。接着萊夫謝茨(Lefchetz)在20世紀初期進一步用這個同調理論開始研究複代數曲面的拓撲性質，得到了許多深刻的定理。

圖5 龐加萊

對于代數曲面理論研究的最主要的貢獻還是來自于著名的“意大利學派”。這個學派的三個主要代表人物是卡斯泰爾諾沃(Castelnuovo)、恩裡奎斯(Enriques)和塞維裡(Severi)，他們在20世紀初期用天才的幾何直覺和高超的幾何技巧，綜合運用包括分析與拓撲方法在内的各種方法創造了複代數曲面的一個非常深刻的理論，包括代數曲面的奇點解消、除子與線性系的經典理論、代數曲面的黎曼-羅赫定理的初步形式以及代數曲面的模空間等等。例如他們用一組平面去截割一個代數曲面，在所得的代數曲線上再運用黎曼的代數曲線理論的結果，從中得到了關于代數曲面的一些重要結果。與代數曲線隻有單一的不變量虧格不同，刻畫代數曲面除了幾何虧格以外，還需要算術虧格等其他好幾個不變量。

但同時意大利學派的工作也有一個緻命的缺陷，那就是缺少一個統一的邏輯基礎，一些證明要依賴于數學家心目中某種神秘的幾何直觀，因而缺乏嚴密性。和數學史上常見的情形一樣，這種邏輯基礎不穩的狀況對于視嚴格為生命的數學家們來說是一件特别糾結的事，它嚴重阻礙了代數幾何的向前發展。

下一篇我們介紹《一文搞懂代數幾何發展史（二）》，敬請期待。

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部