1. 平面向量/點積

2. 向量值函數

3. 笛卡爾坐标/點積/叉積

4. 空間中的直線和平面

5. 柱面和二次曲面

6. 向量值函數和空間曲線

7. 弧長和單位切向量

8. TNB标架;加速度的切向分量和法向分量

9. 多元函數

10. 高維函數的極限和連續

11. 偏導數

12. 方向導數, 梯度向量和切平面

13. 線性化和全微分

14. 極值和鞍點

15. Lagrange 乘子

16. 兩個變量的 Taylor 公式

17. 二重積分

18. 極坐标下的二重積分

19. 直角坐标系下的三重積分

20. 線積分

21. 向量場

22. 第二類線積分, 環量和流量

23. 與路徑無關, 勢函數與保守場

24. 平面的格林(Green)定理

25. 曲面面積和曲面積分

26. 參數化曲面

27. Stokes 定理

28. 散度定

1. 向量

▌平面向量

測量某些事物的大小, 如質量, 長度和時間, 隻需要一個數和一個測量單位. 相關實數為标量.

向量(vector, 或稱矢量)是指一個同時具有大小和方向的幾何對象, 可以用來描述力, 位移或速度.

隻要向量的大小和方向相同, 即視為相等的向量. 另外如果向量 v 的起點在原點, 則稱之為是 v 的标準位置. 觀察如下圖所示在二維平面(Two-dimensional)下, 當移動一個向量, 所留下軌迹上都視為相同的向量:

向量的分量形式:如果平面上的一個向量 v 等于起點在原點 (0,0) 終點在 (v1, v2) 的向量, 則 v 的分量形式是 v=(v1,v2)

向量 v 的長度表示成 |v| 或 ||v||.

任何長度為 1 的向量 v 為單位向量. 如果 v=(v1,v2)與正 x 軸成角 θ , 則 v=(cosθ, sinθ) . 當 θ 從 0 到 2π 時, 單位向量取遍所有可能方向, 則繪制出單位圓.

▌向量的代數運算

設 u=(u1,u2)和 v=(v1,v2) 是向量, k 是一個标量(實數).

加法: u v = (u1 v1, u2 v2)

數乘: k u = (k u1, k u2)

向量加法的定義幾何解釋如下動畫, 圖中一個向量的起點置于兩一個向量的終點.

向量加法的另一種表示稱為加法的平行四邊形定律, 其中的和稱為合成向量, 是平行四邊形的對角線. 再物理學中, 力, 速度以及加速度等都是按向量的方式相加. 觀察下圖兩個向量之和(紅色箭頭).

一個标量 k 和向量 u 的乘積動畫顯示如下. 如果 k >0, 則 k u 與 u 有相同的方向; 若 k<0, 則 k u 和 u 有相反的方向.

兩個向量的差 u - v 意義是 u - v = u (-v)

▌标準單位向量

任何平面向量 v=(a,b) 都可以寫成标準單位向量 i=(1,0) 和 j=(0,1) 的如下的線性組合:v = (a,b) = (a,0) (0,b) = a(1,0) b(0,1) = a i b j

▌長度和方向

在研究運動時, 經常想要知道一個物體朝什麼方向和運行有多快. 向量 v≠0 , 則 v/|v| 是一個和 v 同方向的單位向量.

▌切線和法線

當一個物體沿平面(或空間)内的一個路徑運動時, 它的速度是路徑的一個切向量.

一個向量是一條曲線再一個點 P 的切向量或法向量, 如果它分别平行或垂直于曲線再點 P 的切線. 請觀察下圖動畫:

點積

如果一個力 F 作用再一個路徑運動的質點上. 我們經常需要知道力再運動方向的大小.

▌點積

兩個非零向量 u=(u1,u2)和 v=(v1,v2)的點積(或内積)是數 u⋅v = u1v1 u2v2

▌向量間的夾角

兩個非零向量 u=(u1,u2)和 v=(v1,v2)的夾角由下面式子給出:

特别注意: 向量 u 和 v 是正交的, 當且僅當 u⋅v = 0

▌向量投影

下面看看向量 u 在 v 上的向量投影動畫:

▌把一個向量寫成正交向量的和

在研究一個質點沿平面上(或空間中)的一個路徑的運動時, 加速度向量就可以寫成它的切向分量和法向分量之和.

2. 向量值函數

▌平面曲線

當一個質點在時間區間 I 在平面内運動時, 可以把質點的坐标看做在 I 上的函數

點(x,y) = (f(t), g(t)) 形成平面上的曲線, 稱它為質點的路徑. 從原點到質點在時刻 t 的位置 P(f(t),g(t)) 的向量

是質點的位置向量, 函數 f 和 g 是位置向量的分量函數(分量). 質點的路徑是在時間區間 I 由 r 繪制的曲線. 觀察下面的向量函數

▌三維空間中的向量函數:

▌極限和連續

通過數值分量來定義向量函數的極限.

在一點的連續性

▌導數

假定 r(t)=f(t)i g(t)j 是沿一平面曲線運動的質點的位置向量, 而 f 和 g 是 t 的可微函數. 則質點位置再時刻 t △x 和時刻 t 的差是△r=r(t △t)-r(t), 用分量表示為:

觀察下圖

▌導數

從上面動圖可以看到, 當 △t 趨于 0 時, 有三件事情同時發生:首先, Q 沿着曲線趨于 P:割線 PQ 看來趨于點 P 與曲線相切的位置;△r/△t趨于極限;

如果 dr/dt 是連續且從不為 0 , 則 r 描繪的曲線是光滑的.

因為向量函數的導數是按分量逐個計算的, 對可微向量函數的求導法則對标量函數的求導法則有同樣的形式.

運動

再觀察下面的圖形

▌不定積分

r 對 t 的不定積分是 r 的所有反導數的集合. 用 ∫r(t)dt 表示, 若 R 是 r 的任一反導數, 則

▌定積分

如果 r(t)=f(t)i g(t)j 的分量在 [a,b][a,b] 上是可積的, 則 r 也如此, 并且從 a 到 b 的 r 的定積分是

3. 笛卡爾坐标/直角坐标/點積/叉積

當一個物體在空間中運動時, 其坐标方程 x=f(t), y=g(t), z=h(t) 提供了物體運動和路徑的方程, 坐标為時間的函數. 如果采用向量記号, 可以把這些方程縮寫為一個方程作為關于時間的向量函數的物體位置.

▌空間中的笛卡爾(直角)坐标和向量

為給空間的點定位, 需要由三條相互垂直的軸. 如下圖所示軸組成右手坐标系

空間的點 P 的笛卡爾坐标 (x,y,z) 可用其位置向量表示. 如下圖所示. 笛卡爾坐标也是直角坐标, 因為定義這種坐标的軸以直角相交.

▌空間中的向量

長度和方向與平面的情形一樣, 若 v !=0 是空間中的非零向量, 則 v/|v| 是一個在 v 方向的單位向量. v 可以表示成它的長度和方向的乘積.

▌距離和空間中的球

半徑為 a 中心為 (x0,y0,z0) 的标準球面方程:

▌點積和叉積

将之前研究的點積定義推廣到空間. 然後對空間中的向量引入一個新的積, 稱為叉積.

點積

空間中兩個向量的點積(或内積, 數量積)以對平面向量同樣的方式定義. 當把兩個非零向量 u 和 v 的起點放在一起, 就形成一個大小 0<=θ<=π 的角.

垂直(正交)向量和投影

跟平面向量的情形一樣, 兩個非零向量 u 和 v 是垂直或正交的, 當且僅當 u·v=0 .

如果 u 表示一個力, 那麼 projvuprojvu 表示在方向 v 的有效力.

▌空間中兩個向量的叉積

空間兩個非零向量 u 和 v. 如果 u 和 v 不平行, 那麼就确定了一個平面. 這樣可以用右手法則選擇一個垂直于這個平面的單位向量 n. |u×v| 是平行四邊形的面積.

▌轉矩(力矩, Torque)

當我們再扳手上用一個力 F 轉動一個螺栓時, 就産生一個轉矩作用在螺栓的軸上以使螺栓前進. 轉矩的大小依賴力作用在扳手多遠的地方和多大的在作用點垂直于扳手的力. 轉矩的大小 τ 是杠杆 r 的臂長和 F 的垂直于 r 的數量分量的乘積

▌三重積

三重積，又稱混合積，是三個向量相乘的結果。向量空間中，有兩種方法将三個向量相乘，得到三重積，分别稱作标量三重積和向量三重積.

4. 空間中的直線和平面

在一元微積分中, 應用了直線(切線)的知識研究平面曲線: 可微曲線是充分線性的. 現在從平面出發來研究函數圖形的空間曲面.

▌空間中的直線和線段

空間中的直線由一個點和給出直線方向的一個向量确定.

可以觀察如下圖 L 是一條過點 P0P0 的平行于向量 v 的直線.

▌空間中的平面方程

空間中國的平面由它的一個點和決定"傾斜"方向的法向量決定.

請觀察下面空間中的平面:

觀察下面兩個簡化分量形式的平行平面方程:

▌相交直線

不平行的兩個平面相交于一條直線. 也就是說兩平面的交線正交于向量 n1n1 和 n2n2 (見下動圖), 從而平行于 n1n1 x n2n2.

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5. 柱面和二次曲面

已經了解向量向量微積分和空間微積分所必需的兩種特殊曲面, 空間的球面和平面. 現在再來看柱面和二次曲面.

柱面

柱面(cylinder)是直線(母線)沿着一條給定曲線(準線)平行移動所形成的曲面. 請見下面動圖:

雙曲柱面 y2−z2=1y2−z2=1 由平行于 x 軸并且過 yOz 平面上的雙曲線 y2−z2=1y2−z2=1 的直線構成. 柱面在垂直于 x 軸的平面上的截線雙曲線. 觀察下圖:

二次曲面(Second-degree Surface)

另一類曲面是二次曲面, 它是空間中 x, y 和 z 的二次方程圖形, 最一般的形式是

其中 A, B, ..., K 是常數. 基本的二次曲面是橢球面, 抛物面, 橢圓錐面和雙曲面.

橢球面(ellipsoid)

觀察下面動圖在 (±a,0,0) , (0,±b,0) 和 (0,0,±c)截坐标軸, 三個坐标平面截曲面所得曲線都是橢圓. 其中 a = 3, b =4, c=5.

橢圓抛物面(elliptic paraboloid)

關于平面 x=0 和 y=0 對稱. 曲面和軸的唯一交點是原點. 除這個點外, 曲面整個在 xy 平面上(若c>0) 或下方(若c<0). 觀察下面 a=4, b=2, c=1 時的橢圓抛物面:

橢圓錐(Elliptic cone)

雙曲面 - 單葉雙曲面(Hyperboloid of one sheet)

雙曲面 - 雙葉雙曲面(Hyperboloid of two sheets)

鞍面 - 雙曲抛物面(Hyperbolic paraboloid)

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6. 向量值函數和空間曲線

就想平面曲線那樣, 為研究空間中質點的運動軌迹, 研究從原點到質點的向量 r 變化. 這裡假定質點的位置坐标是時間 t 的二次可微函數.

空間曲線

當一個質點在時間區間 I 在空間内運動時, 可以把質點的坐标看做在 I 上的函數:

點 (x,y) = (f(t), g(t)) 形成空間上的曲線, 稱它為質點的路徑. 從原點到質點在時刻 t 的位置 P(f(t),g(t),h(t)) 的向量:

是質點的位置向量, 函數 f 和 g 是位置向量的分量函數(分量). 質點的路徑是在時間區間 I 由 r 繪制的曲線. 觀察下面的空間曲線:

極限和連續

相同方式來定義空間向量函數的極限.

導數和運動

空間向量函數的導數與平面向量函數同樣方式定義, 無非現在多了第三個分量.

導數定義的幾何意義跟平面曲線一樣, 觀察下圖 r'(t) 為點 P 的切向量.

圓柱螺線

向量函數 r 描繪的曲線是繞在圓柱上的螺線(Helix).

對光滑曲線要求 dr/dt != 0 是為了保證曲線在每點有連續轉動的切線, 在光滑曲線上沒有拐角和尖角. 現在觀察有尖拐角的空間曲線情況.

速度, 加速度, 運動方向

微分法則

微分法則與平面向量函數相同, 無非現在多了第三個分量.

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7. 曲線弧長，單位切向量，主單位法向量

現在來看下曲線形狀的特征, 這些特征能描述曲線彎曲和扭曲的程度.

曲線的弧長

來看看怎樣定義光滑曲線的距離. 其實與平面曲線一樣, 觀察下面動圖:

弧長函數

選取以 t 為參數 曲線 C 上的點 P(t0)P(t0) 為基點, t 的每個值确定 C 上的一個點 P(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩P(t)=⟨x(t),y(t),z(t)⟩ 和一個沿曲線從基點測量起的距離 s(t) 函數:

s 的每個值确定 C 上的一個點, s 稱為曲線的弧長參數, 對于研究空間曲線的彎曲和扭轉非常有用.

單位切向量 T

速度向量 v=dr/dt 切于曲線, 從而向量 T=v/|v| 是曲線的單位切向量, 它是描述空間物體運動标架的三個向量之一.

曲率和平面曲線的主單位法向量

曲線的"彎曲"和"扭曲"并不是相同. 當一個質點沿平面光滑曲線運動時, T=dr/ds 随曲線的彎曲而轉動. T 是單位向量, 在質點沿曲線運動時它的長度保持常值而僅僅方向改變. 單位長度 T 的轉動率為曲率, 用希臘字母 [Kappa] 記号(讀 kappa).

如果|dT/ds|大, T 在質點通過 P 時轉動得就急劇, 在點 P 的曲率就大, 反之亦然. 可以觀察下圖:

當曲線彎曲時, 向量 dT/ds 指向 T 轉動的方向. 也就是說, 主單位法向量指向曲線凹的一側. 觀察下面動圖:

曲率圓和曲率半徑

在平面曲線的 [Kappa]!=0 的點 P 的曲率圓是曲線所在平面上的圓周:

1. 它在點 P 切于曲線(跟曲線有同樣的切線)
2. 它在點 P 跟曲線有同樣的曲率
3. 位于曲線的凹的一側.

曲線在點 P 的曲率半徑是曲率圓的半徑:

下面觀察 y=x^2 的曲率圓動畫:

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8. TNB标架;加速度的切向分量和法向分量

笛卡爾坐标系對于描述運動的向量并非最合适的, 使用 TNB 标架來解釋路徑和沿路徑運動的性質.T: 代表前進方向的單位切向量N: 代表路徑彎曲方向的單位法向量B: 代表沿垂直與這兩個向量确定的平面方向, 也就是從這個平面扭轉出來趨勢的次法向量, B = T x N .

三葉結，帶有切線、法線和副法線沿曲線的動畫：

每個運動體帶着一個 TNB 标架運動, 該标架刻畫了運動路徑的幾何特征. 比如 |dT/ds| 表明一輛車的路徑向左向右彎曲程度, 稱為車的路徑的曲率;

-(dB/ds)·N 表明車的路徑從運動平面扭轉了多少, 稱為車輛路徑的撓率. 如上動圖所示那樣, 如果紅點 P 是在彎曲公路上形式的汽車, 車燈的單位距離左右彎曲的變化率是公路的曲率, 而 T 和 N 确定的平面扭轉的變化率是撓率.

空間曲線的曲率和法向量

空間曲線的單位切向量 T 定義與平面曲線一樣.

從上面的動畫可以, 當固定 a 而增加 b 時, 曲率減少. 當固定 b 而減少 a 時, 曲率也會減小. 這表明拉伸彈簧就有把它弄直的趨勢.

如果 b=0, 螺旋線退化為半徑為 a 的圓, 則曲率為 1/a. 如果 a=0, 螺旋線退化為 z 軸, 曲率為 0. 觀察下面動圖:

撓率和次法向量

空間的次法向量是 B = T x N, 也就是同時正交 T 和 N 的單位向量. T, N 和B 定義了一個右手向量标架, 這對于計算在空間中運動的質點的路徑非常有意義.

曲率 κ 隻能為正值, 但撓率可正可負, 也可以為 0.

由 T, N,B 确定的三個平面如下圖所示. 曲率 κ = |dT/ds| 可以理解為點 P 沿曲線運動時候法平面(Normal Plane)轉動的速率. 撓率 τ 是點 P 沿曲線運動時密切平面繞 T 轉動的速率.

加速度的切向量和法向分量

當物體運動時, 主要關注的是在運動方向即切方向 T 的加速度是怎樣.

加速度總在正交于 B 的 T 和 N 的平面内, 并且能從上式中可以得知在正切方向産生了多少加速度, 在正交運動的方法産生多少加速度. 并且加速度是速度的變化率, 所以切向分量反映的 v 的長度的變化, 而法向分量測量 v 的方向的變化速率.

計算曲率和撓率的公式

便于計算曲率和撓率的公式:

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9. 多元函數二元函數

定義 二元函數假定 D 是有序實數對 (x,y) 的集合. D 上的二元實函數 f 是一個規則, 它對 D 内的每個有序對 (x,y) 有唯一對應的實數 w=f(x,y). D 為 f 的定義域, w 的值的集合是值域.

内點, 邊界點, 開集, 閉集

xy 平面上的集合 R 的一個點 (x0,y0) 是完全含于 R 内的圓盤的中心, 稱為 R 的内點(Interior Point).

一個點 (x0,y0) 是 R 的邊界點(Boundary Point), 如果每個以 (x0,y0) 為中心的圓盤有不屬于 R 的點, 也有屬于 R 的點.

如果一個集合完全由内點組成, 則稱為開集. 如果一個集合包含它的所有邊界點, 則稱為它為所有邊界點, 則稱為它為閉集.

平面有界集合比如: 線段, 三角學, 三角學内部, 矩形, 圓周和圓盤. 無界集合: 直線, 坐标軸, 定義在無窮區間上的函數圖形, 象限, 半平面和平面.

二元函數的圖形和等位線

在平面内, 二元函數取常數值 f (x, y) = c 的點組成函數定義域内的曲線.

觀察下圖 f(x,y)=xe^(−x^2−y^2) 的圖形及等位線和等高線圖形.

三元或更多元函數

三元函數 f 是對空間的某個定義域 D 的每三元組(x,y,z) 指定一個唯一的實數 w=f(x,y,z) 的規則.

三元函數的等位面

在空間内, 三元函數取常數值 f(x,y,z)=c 的點組成函數定義域内的曲面, 稱之為等位面.

因為三元函數的圖形由點 (x,y,z,f(x,y,z)) 組成, 在四維空間内, 無法在三維空間内繪制出來. 不過可以通過觀察它的三維等位面了解它的行為.

比如下面動畫, 觀察函數定義域的等位面. 等位面在定義域内移動時顯示函數值的變化. 可以看到常數值等于 1,2,3 時候的球面(為了更方便觀察内部結構, 隻顯示出3/4體積). 假如離開原點的話, 函數值就會增加, 反之亦然. 函數值的改變依賴于移動的方向.

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10. 高維函數的極限和連續

二元和三維函數極限定義類似一元函數極限定義, 但有一點重要的不同之處. 先來回顧一元的極限定義.

二元函數的極限

如果 (x0,y0)(x0,y0) 是 f 定義域内, (x, y) 可以從任何方向接近 (x0,y0)(x0,y0).

二元函數的連續性

二元函數的連續定義與一元函數一樣.

如下圖函數極限随路徑不同而變化, 所說當 (x,y)趨于 (0,0) , f 沒有極限(或者說可能是 -1 到 1 的任何值 )

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11. 偏導數

對于多元函數, 當我們把一個自變量固定, 對另一個變量求導, 這樣就是求偏導. 現在來看下偏導數的定義以及如何計算.

二元函數的偏導數

如果 (x0,y0)是函數 f(x,y) 定義域中的一點, 固定平面 y=y0 割曲面 z=f(x,y) 得到曲線 z=f(x,y0) (如下圖紅色曲線所示).

在點 (x0,y0)對于 y 的偏導數定義類似 f 對于 x 的偏導數. 現在隻是把 x 固定在 x0 的值, 而取計算 f(x0,y) 在 y0 對 y 的普通導數. 請看下面的動畫:

多于二元的函數

更多元的函數偏導數類似二元函數定義, 隻是對某一個變量求導, 而其餘自變量為常數.

偏導數和連續性

一元函數導數即意味着連續, 但二元函數 f(x,y) 不同, 在一個點不連續, 但對 x 和 y 可以求偏導.

二階偏導數

二階導數就是對函數求導兩次, 但注意求導次序如果是先對y 求偏導, 再對 x 求偏導應該這樣的寫法:

混合求導

在計算二階混合導數時候, 可以按任意次序微分.

可微性 Differentiability

如果 fx(x0,y0 和 fy(x0,y0) 存在, 并且 Δz 滿足下面的等式:

其中當 (Δx,Δy)→(0,0) 時 (ϵ1,ϵ2)→(0,0), 則函數 z=f(x,y) 是在 (x0,y0) 點可微的.

如果它在定義域内的每個點都是可微的, 則說 f 是可微的.

多元函數偏導存在且連續推出函數可微, 但反之不成立, 這點與一元函數不同

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12. 方向導數, 梯度向量和切平面

根據鍊式求導法則可知, 如果 f(x,y) 是可微的,則 f 沿曲線 x=g(t), y=h(t) 對于 t 的變化率是下面式子:

上面式子 f 對于 t增量的變化率依賴于沿曲線運動的方向.

方向導數的解釋

函數 z=f(x,y) 表示空間曲面 S. 則點 P(x0, y0,z0) 在 S 上. 過點 P 和 P0 的 u 方向的垂直平面交 S 與曲線 C. f 沿方向 u 的變化率是 C 在點 P 的切線的斜率. 觀察下面動畫:

方向導數推廣了兩個偏導數, 現在可以求沿任何方向的變化率了.

計算

一個更有效的計算 f 在 P0cbf;P0方向 u 的方向導數的公式,就是 u 與 f 在 P0P0 梯度的點擊.

方向導數的性質

根據上式, 當 cosθ=1 時, u 與 ▽f 同方向時, 函數 f 增加最快, 類似, 反方向減少最快. 而正交于梯度的方式 u 是 f 變化率為 0 的方向, 此時 θ=pi/2.

函數 f(x) = x^2/2 y^2/2 在 (1,1) 增加最快的方向梯度的方向, 它對應于在點 (1,1,1) 在曲面上最陡峭的方向.

梯度和等高線的切線

函數 f(x,y) 的定義域的每個點 (x0,y0)(x0,y0), f 的梯度正交于過 (x0,y0)(x0,y0) 的等高線.

創建互動等高線，把法線顯示為一個點：

增量和距離

f 沿方向 u 的變化有多少, 如從點 P0P0 沿 u 移動一點點距離 ds , f 的值變化多少等于方向導數乘以ds .

三元函數

現在再看三元可微函數 f(x,y,z), 與之對應的單位向量 , 則

切平面和法線

三元可微函數 f(x,y,z) 的梯度向量滿足二元函數梯度的所有性質.

觀察下面 "-17 x 2 y 4 z=0" 的等位面上的切平面動畫:

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13. 線性化和微分

二元或多元函數的線性化和微分類似一元函數的線性逼近. 先來回顧下一元的公式.

二元函數的線性化

用更簡單的二元函數來代替函數 f(x,y).

也就是 z=L(x,y) 是曲面f(x,y) 在點 (x0,y0) 的切平面. 觀察下面動畫來查看函數 f(x,y) = -x^2−y^2 在點 (0,0) 的線性化逼近.

從上圖可以看到二元函數的線性化切平面逼近與一元函數的切線線性化逼近是非常類似的.

标準線性逼近的精确度

現在考慮逼近的精确度是如何衡量的, 這裡受到三個因素的影響:

1. x 和 x0 的接近程度
2. y 和 y0 的接近程度
3. 函數 f 在點 (x0,y0)附近的彎曲程度(可以用二階導數衡量)

用微分來預測變化

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14. 極值和鞍點

多元函數函數的最值需要通過函數的偏導數來求解, 也是多元微分學的一個重點. 工程應用中有很多地方都用得到: 例如一個平面熱金屬上最高溫度是多少? 位置在那裡? 一個給定的函數曲面最高點如何達到? 這些都需要考察函數的的偏導數來解答.

不過先來回顧下一元函數求極值的步驟, 可微函數(光滑曲線)是連續的. 所以極值可能會在 f'(c)=0 、區間的端點或一個或多個内點不可微的地方, 這些點都需要加入到考察的範圍中.

二元函數也類似這樣的請看, 極值點可能出現在區域邊界點或兩個偏導為 0 的内點或一個或兩個偏導數不存在的地方.

二元函數的局部極值

我們來分辨 二元函數中那些點是局部最大, 局部最小或是全局最大, 全局最小, 請看下面動畫所示:

局部最大值對應的函數曲面的山峰, 而局部最小值對應的谷底. 對于這樣的點, 切平面存在時一定是水平的. 與一元函數一樣, 可以用一階導數判别法來判斷局部極值.

但請注意上面定理的局限性. 它不适用于定義域的邊界點(邊界點有可能有極值, 且有非零導數). 另外它也不能用于 fx 或 fy 不存在的地方.

這樣, 函數 f 僅有的極值的點是臨界點或邊界點. 與一元函數可能存在拐點一元, 二元可微函數可能存在鞍點.

觀察下面兩條圖形中鞍點:

觀察下面函數 x^2−y^2 的鞍點(紅點), 此函數沒有局部極值.

上面定理就是說如果 D(a,b) > 0, 則曲面在任何方向以同樣的方式彎曲:如果 fxx < 0 , 則朝下, 産生局部極大;如果 fxx > 0 , 則朝上, 産生局部極小;

如果 D(a,b) < 0, 則曲面某些方向向上, 某些方向向下, 從而會有鞍點的産生.

海森矩陣(Hessian matrix) 為下面矩陣形式, 其行列式即為上面判别式.

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15. Lagrange 乘子

如果是求定義域内約束在某個區域内函數的極值, 可以用本次講述的 Lagrange乘子法.

約束最大值和最小值

觀察下面函數 f(x,y)=49-x^2−y^2 受約束 g(x,y)=x 3y-10=0 的圖形.

求雙曲柱面 x^2−z^2-1=0 上到原點最近的點的一個方法是設想中心在原點的球面不斷膨脹, 直到剛剛接觸到柱面. 此時柱面和球面有同樣的切平面和法線.

Lagrange 乘子法

若函數 f(x,y,z) 的變量受約束 g(x,y,z)=0限制, 函數的極值可以用下面Lagrange乘子法求出.

現在看函數 f(x,y)= x y 在橢圓 x^2/8 y^2/2=1 上的最大值和最小值, 現在看下解的幾何解釋. f(x,y)=x y 的等高線圖是雙曲線 x y=c , 如下:

從上圖可是雙曲線離開原點越遠, f 的絕對值越大. 需要在約束條件下 - 橢圓 x^2 4y^2=8 上使 f(x,y) 取極值點. 也就是剛剛與橢圓相切的雙曲線會距離原點最遠, 在這四個切點中, 雙曲線的法線也是橢圓的法線. 觀察下圖動畫, 可以看到黑色 "▽f"是 "▽g"的數值倍數.

帶兩個約束條件的 Lagrange 乘子法

如果是兩個約束限制的可微函數求極值, 這裡 g1(x,y,z)=0 和 g2(x,y,z)=0, 可微且梯度向量不平行. 可以通過引進兩個 Lagrange乘子 λ 和 μ, 通過求解下面方程中的 x,y,z,λ,μ 值來求出極值點的位置:

曲面 g1=0 和 g2=0 通常會相交于一條曲線 C. 沿着這條曲線尋找 f 相對于曲線上其他值的極大值和極小值的點.

例如下面例子中平面 x y z=1 (g1)相交于圓柱 x^2 y^2=1 (g2) 為一個橢圓, 求這個橢圓上離原點最遠的點. 觀察 ▽g1 正交于平面 x y z=1, 而 ▽g2 正交于曲面 x^2 y^2=1, 向量 ▽g1 和 ▽g2 位于垂直與橢圓曲線的 C (下圖紅色)的平面内. 并且 ▽f 也正交于 C, 且在 ▽g1 和 ▽g2 決定的平面内, 這意味這對于某個 λ 和 μ 有 ▽f = λ ▽g1 μ ▽g2. 觀察下圖來更好理解:

兩個變量的 Taylor 公式

Taylor 公式提供了對二元函數的多項式逼近, 含前 n 項導數項給出的泰勒多項式. 最前面三項為函數的線性化, 最後 一項為逼近的誤差. 可以觀察下面函數 sin(x)sin(y) 在原點逼近的動畫:

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12.1 二重積分

将一元函數積分推廣來看對于連續函數 f(x,y) 如何求二重積分. 每個二重積分都可以方便地用定積分的方法分步進行計算.

矩形區域上的二重積分

設 f(x,y) 在矩形區域 R: a<=x<=b, c<=y<=d 上有定義. 如果 R 被分别平行于 x 軸和 y 軸的直線網格所劃分成許多小塊面積 ∆ A="∆ x∆ y" . 如下動畫所示

當網格不斷進行細分使 ∆x 和 ∆y 都趨近零時, 則趨于 R 的面積趨近于極限值, 則稱該極限值為 f 在 R 上的二重積分, 記為:

值得注意的是 f 函數的連續性是二重積分存在的一個充分條件, 對于許多不連續的函數, 該極限也存在.

二重積分的性質

連續函數的二重積分也有一些代數性質:

二重積分的幾何意義

當 f(x,y) 為正函數時, 則可以把矩形區域 R 上的 f 函數二重積積分視為曲面為 z=f(x,y) 的棱柱體的體積.

計算二重積分的 Fubini 定理

現在 計算 xy 平面内矩形區域 R ： 0<=x<=2， 0<=y<=1 在平面 z=4-x-y 下面的體積。 求其二重積分的過程請看下面的動畫。

也就是說體積可以這樣計算出來: 先固定 x, 将 4-xy 先關于 y 從 y=0 到 y=1, 然後再對所得 x 的表達式關于 x 從 x=0 到 x=2 積分. 則體積可以寫成表達式:

上述表達式稱為二重積分或累次積分(iterated integral).

Guido Fubini(圭多.富比尼) 在1907年證明了矩形域上任意一個連續函數的二重積分都可以用兩種累次積分的任一種次序計算.

有界非矩形區域上的二重積分

函數 f(x,y) 在非矩形區域 R 上的二重積分, 設想被網格覆蓋, 不過在 R 内的小塊面積為紅色, 如下圖所示:

可以看到随着網格不斷細分, R内包含的小矩形方塊越來越趨于零時, S 就會有極限, 則稱該極限為 f 在 R 上的二重積分:

如果 f(x,y) 為正, 且在 R 上連續, 則曲面 z=ff(x,y) 與 R 之間的立體趨于的體積為:

觀看下面的動畫:

在 xy 平面内, 如果 R 是一個由兩條曲線 g1(x) 和 g2(x) 圍城的區域. 則也可以用切片法來求體積. 先計算截面面積 A(x):

然後再對 A(x) 從 x=a 到 x=b 作積分可以求得體積:

觀察下面動畫 A(x) 從 x=a 到 x=b 作積分的過程:

12.3 極坐标下的二重積分

如何用極坐标來表示二重積分, 從而更加方便的進行計算, 它的計算公式如何推導請看本節内容.

用極坐标表示二重積分與直接坐标系下的二重積分一樣, 在極坐标系下也是将整個區域分割成一系列小塊, 請看下面的動畫所示劃分過程, 橙色的小區域不斷地變小:

假設如果函數 f(r,θ) 定義在區域 R 上, 其邊界為 θ=α, θ=β, 和曲線 r=g1(θ) 和 r=g2(θ). 觀察下面的動畫, 在區域 R 内小矩形為淺藍色. 随着不斷分割, 這些極坐标下的小矩形越來越小.

下面聚焦一小塊極坐标矩形的面積是如何計算的, 請看下面的圖形:

觀察上圖, 設 (rk,θk) 為面積為 ∆ A 的小塊中心, 然後有下面和式:

如果 f 在區域 R 上連續, 當網格不斷細分後, ∆ r 和 ∆ θ 都趨于0. 這時 S 會趨于極限值. 此極限為 f 在 R 上的二重積分, 記為:

将上面∆ A 代入和式中, 則累次積分為:

12.4 直角坐标系下的三重積分三重積分

假設 F(x,y,z) 為一個空間有界閉區域 D 上的函數. D 為下面立體橢球所占區域. 将空間區域分割成小長方塊. 體積記為 ΔVk, 其長寬高分别為Δxk, Δyk, Δzk , 并有下列的求和式:

觀察下面動畫, 當空間不斷分割, 每個小方塊的體積 ΔVk 不斷變小:

如果 F 連續, 且 D 的邊界曲面分片光滑, 其交為連續曲線, 那麼當 Δxk, Δyk, Δzk 趨近于 0 時, Sn 有極限:

空間區域的體積

如果 F 是常數函數 1 , 那麼 D 的體積就是三重積分:

确定積分限

先來觀察下面的三重積分的直觀展示動畫:

如何找出三重積分的積分限, 如果先對 z 作積分, 再對 y, 最後對 x, 采用下列步驟:

• 第一: 畫出空間區域 D 及其投影區域 R.
• 第二: 确定 z 積分限. 過 R 内一點 (x,y) 做一條垂直于 z 軸的直線. 在 f1(x,y) 進入區域 D, 在 f2(x,y) 離開 D. 這便是 z 的積分限.
• 第三: 确定 y 的積分限過點 (x,y) 做平行 y 軸的直線, 在 g1(x) 進入 R, 在 g2(x) 處離開 R, 這就是 y 的積分限.
• 第四: 确定 y 的積分限. x 的積分限為保羅所有通過 R 且平行 y 軸的直線.

空間 - 函數的積分平均值

F(x,y,z) 是空間區域 D 上一立體的密度, 則 F 平均值就相當該立體的平均密度, 可以有下面公式定義:

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13.1 線積分(Line integral)

利用線積分可以計算變力沿空間路徑所做的功, 流體沿曲線和通過邊界流動的速率.

定義

設 f(x,y,z) 為實值函數, 定義域包含曲線 C: r(t)=g(t) i h(t)j k(t)k, a<=t<=b. 将曲線分割成有限線段. 設一小段弧長為 ∆sk, 并取上取點 (xk,yk,zk) , 有和式:

如果 f 連續, 且 g, h 和 k 均有一階連續到時候. 那麼當劃分區間數量 n 不斷增加, 小段弧長 ∆sk 趨近于零時, 稱為相應的極限為 f 在曲線上從 a 到 b 的線積分, 記為:

物理與幾何意義

線積分(第一類曲線積分)的物理意義就是求曲線質線的質量, f(x,y) 為線密度, ds可以被看作積分路徑上的一段很小的"弧長".

其幾何意義上求柱面的面積:

用等分點将 C 分成 n 小段, 随着劃分數量趨于無窮, 小矩形寬度 λ 趨于 0, 而全部小矩形面積之和就等于柱面的面積 :

線積分可以計算空間中光滑曲線的質量分布問題, 設質量分布函數 δ(x,y,z),

對光滑曲線的計算

若曲線C 上對連續函數 f(x,y,z)可用下面方式來計算線積分:第一步: 找出曲線 C 的參數表達式: r(t)=g(t) i h(t)j k(t)k, a<=t<=b第二步: 計算積分式子:

如果 f 取值為常數 1, 那麼 f 沿 C 的線積分就是計算曲線 C 的長度.

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13.2 向量場

向量場(Vector Fields)

平面或空間區域上的向量場是個函數, 即區域内的每一個點都對應一個向量.

如果各個分量函數 M,N,P 是連續的, 則這個場是連續. 并且三分量是可微的話, 則向量場是可微場.

下面先來看幾個向量場的圖形, 繪制向量 {2,1} 的向量場圖, 也就是每個地方都存在向量 (2,1).

再看下面的向量圖, 隻有向量的水平分量, 也即是說這個向量場總是水平的, 并且向量的長度取決于 x .

下面這個向量場中的向量同時有兩個分量, 其實就是從原點呈放射狀, 并且向量大小随着與原點的距離增大而增大.

一旦我們理解平面的情況, 我們就可以來看三維的向量場圖, 在空間中的每一點處都有一個向量. 每個有x,y,z三個分量表示出來, 其中每個分量都是 x,y,z 的函數.

空間中向量場看起來很難有直觀的感覺, 為了看的更清楚繪制切片曲面上的三維向量圖, 這樣四維的可視化會更能清晰表示在三維區域上的向量值. 比如從下面圖形可以看到整個圖形是由 {0,0} 向外背離原點, 且越靠外邊, 向量長度越大

梯度場

如下面繪制馬鞍曲面上梯度構成的向量場圖.

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13.2 功, 環量和流量空間中力沿曲線所做的功

也就是第二類線積分. 假設向量場 F(x,y,z) =M(x,y,z)i N(x,y,z)j P(x,y,z)k 表示空間區域中分布的力, r(t) 為該區域内一光滑曲線 r(t) =g(t)i h(t)j k(t)k, a≤t≤b . 那麼 F·T 為 F 在曲線的單位切向量上的标量, 沿曲線的積分即為力 F 沿曲線從 a 到 b 所做的功.

也就是把曲線軌迹分成這些很小很小的線段, 對每個線段都有一個與之對應的單位切向量, 并求出每個向量與對應外力的點積, 并把所有的點積加起來, 自然而然就得到所求的結果. 請看下面的動畫:

第一類線和第二類積分可以看下面動畫顯示出的區别來:

現在看三維中力場中質點的運動, 它的軌迹比較複雜(螺旋線), 并且外力不是恒力. 也就是每個點處的外力都不一樣, 現在想要算出外力所做的總功, 數學上也是采用第二類線積分(在向量場中的線積分)來解決.

觀察下面三維力場, 為了更清楚觀察, 故隻在将三個主軸平面上向量标識出來.

正如前面所述 F 和 T 的内積實際上就是 F 在單位切向量上的投影, 計算出來的結果再做第一類曲線積分. 也就是把曲線軌迹分成這些很小很小的線段, 對每個線段都有一個與之對應的單位切向量, 并求出每個向量與對應外力的點積, 并把所有的點積加起來, 自然而然就得到所求的結果. 我們來觀察下面的動畫來理解整個過程:

記法與計算

真正計算的話, 并不會按照定義的方式來進行, 假設 F= {f,g,h} 有三個分量, 且曲線 C 的參數方程為: r(t)=(x(t), y(t), z(t)), a ≤ t ≤ b, 則會按照下面式子來進行計算線積分的結果.

流量積分與環流量

如果假設 F 不是力場, 而是空間中的速度場, 這種情況下 F·T 沿曲線的積分就是流體沿曲線的流量.

穿過一平面曲線的流量(通量)

如果想要計算流體流過有 xy 平面一光滑曲線 C 所圍成區域的速率, 隻需要計算 F·n 在 C 上的線積分. 這是流體速度場在曲線的外法向量方向上的分量. 這個積分值既是 F 穿過 C 的流量(Flux).

下面是平面内穿過一閉曲線的流量(Flux Across a Closed Curve in the Plane)定義:

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13.3 與路徑無關, 勢函數與保守場

Path Independence, Potential Functions, and Conservative Fields

路徑無關性

在有些場中(引力場和電場), 移動一物體(如電荷)在開區域 D 内從 A 到 B 所要做的功僅依賴物體移動的起始點和終點, 不依賴這兩點經過的路徑. 對于這樣情況就成積分 ∫F⋅dr 在 D 内是路徑無關的, 并稱 F 在 D 上是保守的.

觀察下面的動畫在 F = (2x y, x-y) 的場中, 沿着在兩點間 3 種不同的路徑做功總是相等結果 -8.

在保守場(Conservative Field)中的線積分将會與路徑無關, 隻與起始點和終點有關.

一旦為場 F 找到一個勢函數 f, 那麼就可以方便地算出兩點間做功的積分了.

保守場的線積分

線積分的基本定理(Fundamental Theorem for Line Integrals) 為計算保守場中的線積分提供了一種方便的方式:

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13.4 平面的格林(Green)定理

如何計算保守場的流量積分, 需要先對場建立勢函數, 求出路徑端點的值. 當向量場不是保守場時候, 如何計算穿過平面閉曲線的流量和通量積分呢. 可用格林定理, 将線積分變成二重積分.

散度(Divergence)

向量場的散度, 也稱為在場中某一點的通量密度(flux density). 設 F(x,y) = M(x,y)i N(x,y)j為一平面流體的速度場, 則在點 (x,y) 處的散度(Divergence)或通量密度為:

觀察下圖動畫, 如果 Source 處散度為正, 則流體從源處流出, 如果為負, 則流進(或壓縮)到該點處.

在一點的環量密度: 旋度的 k-分量

在平面區域旋度(環量密度, Circulation Density)正向為繞 z 軸逆時針旋轉, 可視為流體繞某一點旋轉的速率. 在旋轉方向為逆時針則旋度的 k-分量為正, 反之為負. 也就相當在度量一個"渦輪"以什麼方向旋轉以及旋轉有多快, 可以觀察下面動畫:

觀察下面兩個動圖, 在向量場 F(x,y)=(Cos(y)-1. Sin(x)^3, -0.1 y-1. Sin(x)) 中取 9 個不同點處的旋度和散度的情況:

格林定理的兩種形式

格林定理揭示了曲線所圍的區域與邊界上線積分的關系.

• Green 定理(通量 - 散度形式或法向形式)

• Green 定理(環量 - 旋度形式或切向形式)

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13.5 曲面面積和曲面積分

計算曲面積分的技巧是要将其轉換成平面區域的二重積分.

曲面面積

觀察下圖曲面 S 以及它的垂直投影.

将所有小平面分割近似所有的小區面, 這樣就構成了曲面 S , 因此其和式就是曲面 S 面積的一個近似, 而不斷的細分 R 後, 即為下面二重積分的近似.

觀察下面小切面近似曲面的動畫:

曲面積分(Surface Integrals)

即第一類曲面積分, 利用上面計算曲面面積的思想:

定向(Orientation)

稱光滑曲面 S 可定向或是雙側的.

下圖的莫比烏斯帶不是可定向的. 當一個單位法向量移動一圈後, n 的方向剛好與出發方向相反.

曲面積分求通量(Surface Integral for Flux)

也就是第二類曲面積分. 假設曲面 S 在 F 向量場中, n 為曲面某點處的單位法向量, 則 F 沿正向穿過曲面的通量為 F⋅n 在 S 上的積分.

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13.6 參數化曲面

空間曲面定義有 3 種方式;

1. 顯示: z = f(x,y)
2. 隐式: F(x,y,z) = 0
3. 參數化曲面: r(u,v) = f(u,v)i g(u,v)j h(u,v)k

曲面參數化

設 r(u,v) = f(u,v)i g(u,v)j h(u,v)k 為 uv 平面區域 R 上定義的連續向量值函數, r 值域所定義的曲面 S 如下圖所示. 變量 u 和 v 為參數, R 為參數定義域.

球面的參數化

曲面面積

參數化曲面 r(u,v) = f(u,v)i g(u,v)j h(u,v)k 是光滑的, 如果 ru 和 rv 都連續且 ru×rv在參數化定義域内不為 0.

下面 uv 平面中的小矩形面積映射為曲面 S 上的一塊小曲面面積.

應用上一節中小切平面來近似小區面面積的方法, 可以求得小平行四邊形的面積為:

将其 uv 平面劃分成小矩形區域, 與此相對應也會将曲面 S 剖分為小曲面面積元素 ∆σ . 所有這些小曲面面積對應的小平行四邊形區域相加就是曲面 S 面積:

可以寫成 dσ 簡寫的形式:

曲面積分

上面就曲面參數方程形式得出來求曲面面積的公式, 現在來看參數形式表示曲面上的積分了.

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13.7 Stokes 定理

Stokes 定理告訴我們, 三維空間中的曲面邊界上上的線積分等于函數旋度在法向分量在曲面積分.

環量密度: 旋度

之前看到在二維空間中向量場 F = Mi Nj 在某點的旋度是一個數值 ∂N/∂∂x−∂M/∂y∂N∂x−∂M∂y.在一個三維空間内流速場中, 旋度可以度量場中某點 P 的旋轉程度. 旋度為一個向量, 方向為該旋轉軸的方向(旋轉平面的法向量), 場中最大旋轉的速度向量為:

觀察下面動圖, 三維空間中曲面不同的點處旋度:

• 點1 - 旋度>0, 逆時針旋轉;
• 點2 - 旋度<0, 順時針旋轉;
• 點3 - 旋度=0.01, 幾乎不旋轉;

Stokes 定理

Stokes Theorem 是格林定理旋度形式在三維空間的推廣. 當向量場是連續的, 且在曲面 S 上處處可微的情況下, 定理成立.

Stokes 定理: 向量場 F = Mi Nj Pk 繞一個定向曲面 S 的邊界 C 沿與曲面單位法向量 n 成逆時針方向上的環流量等于 (∇×F)⋅n 在 S 上的積分.

可以觀察下面動圖, 來更好地理解 Stokes 定理.

曲線 C 一定要是一個空間中封閉的曲線, 但是曲面 S 可以是任何一個以 C 為邊界的曲面(如下動畫所示):

由 Stokes 定理可知, 如果兩定向曲面 S1 和 S2 有相同的邊界 C, 則他們的旋度積分也相等.最後推薦觀看《輕松理解散度和旋度 - 數學知識的動畫解析》這個短片, 一定會有更深的理解.

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散度定理

二維平面 Green 定理 - 散度法向形式說的是, 在向量場中穿過簡單閉曲線的向外流量可以通過下式做積分求得散度:

類似在三維空間中的散度定理就是指, 在三維向量場中穿過一閉曲面的向外淨流量由曲面區域做散度積分.

三維空間中的散度

向量場 F = (M,N,P) = M(x,y,z) i N(x,y,z) j P(x,y,z) k 的散度是數量函數

觀察下面動畫顯示向量場 F 中一些點處的散度值:

• div F > 0, 顯示紅色數值或紅色球體, 表示流體從源處流出;
• div F < 0, 顯示綠色數值或綠色球體; 表示流體的流入彙聚;

散度定理

散度(高斯)定理把一個向量場通過曲面的通量(向量場垂直穿過)與曲面内部的向量用下面等式聯系起來.

就是說向量 F 通過閉曲面 S 沿其外法線方向的流量等于 ∇⋅F 在由曲面所圍成區域 D 上的三重積分, 觀察下面閉曲面 S 沿其外法線方向的流量展示:

統一化的積分定理

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