前言

最近，筆者看到馬立平博士的文章《小學數學教材中的嚴重問題》，認為2001年頒布的《全日制義務教育數學課程标準（實驗稿）》取消被乘數和乘數的區别，把支撐着小學算術算理體系的“承重牆”打掉了，從而導緻了算術算理體系的垮塌。對此，筆者希望對其中涉及的一些教育教學理念談點想法。筆者這篇文章的目的并不是反駁或批評馬博士的文章，而是想和讀者讨論一點新的東西，因此内容會更寬泛一點。首先開列如下“太長不看版”。

（1）首先談一個和馬博士觀點不直接對嗆的看法：不管課綱裡怎麼寫，教師完全可以告訴學生被乘數和乘數等概念，也完全可以告訴學生馬博士的親民版表述：“每份數×份數=總數”。但這個概念不必要考試，更不要寫反了扣分。

下面的看法則有點唱反調，希望和大家讨論交流。

（2）不需要把被乘數和乘數等概念比作“承重牆”。

（3）我們的話對學生沒有那麼重要，一句不嚴謹的話誤導學生一輩子這種事幾乎不會發生。教師固然應該避免講錯話，但也要避免為了嚴謹而把簡單的事情繞得太複雜。

（4）人們在學習很多知識體系時，往往能夠通過多視角理解，多支點記憶實現融會貫通。公理化數學證明方法是一種幫助學生融會貫通的路徑，很有價值，但不應以此排斥其他路徑。

（5）教學要突出的重點是概念知識本身，對學生可能産生的理解難點可以分散在多個時段用多種角度幫助理解。但無論如何，在教學的過程中，不要人為制造難點與焦慮。

撰文 | 吳進遠

01 我們會誤導學生一輩子嗎？

筆者早年讀過中等師範學校，教過中學物理，後來又教過大學物理。做教師的人，往往會默認一條不證自明的“公理”：教師一句不嚴謹的話，會誤導學生一輩子。不過，當年胡傳魁有句粗話家喻戶曉：“刁參謀長放個P，也是香的？”同理，我們也可以質疑，我自己說句話，對學生真的有那麼重要嗎？事實上，我們在課堂上講那麼多話，學生們經常左耳朵聽右耳朵冒，因此被氣哭的女老師不是一個兩個。

從理論上說，教師一句不嚴謹的話，的确不排除會誤導學生一輩子，但事實上也存在很多反例。就拿被乘數和乘數這一對概念來說，在馬博士文章後面的留言中，有很多數學或物理學工作者談到自己區分不清楚二者。我自己上小學的時候也學過這對概念，但很快就混為一談了。後來某一天上課，老師說被乘數和乘數也可以都叫做因數，次序可以任意放，作為“lazy school boy”的自己，頓時感覺輕松了不少。我這個故事中老師的話倒沒有不嚴謹，但我自己從未記住嚴謹的被乘數和乘數這一對概念，按說問題要嚴重得多。但是我自己和前面這些朋友後來學線性代數、群論等數學課程的時候，并沒有遇到什麼困難。線性代數、群論中的向量矩陣等，在乘法中不存在交換律，但從未聽說哪個學生在這裡因被乘數與乘數傻傻分不清而卡住。在許多物理學乃至數學工作者可預見的科研生涯中，似乎也看不到心中數學大廈轟然倒塌的趨勢。因此，馬博士文章中“承重牆”的比喻并不恰當。

這些反例，證僞了老師一句話會誤導學生一輩子這個“公理”。

我們指出這個“公理”不成立，并不是說教師可以胡說八道。教師在上課中，仍然應該避免講錯話。我隻是想說，教師在講話嚴謹的同時，也要避免為了嚴謹而把簡單的事情繞得太複雜。

很多難懂的概念，是可以通過多個角度的交叉表述幫助學生理解的，實現化繁為簡。如果教師害怕說話不嚴謹，幾節課翻來覆去隻重複一種說法，則無異于作繭自縛。我們證僞上述“公理”的現實意義，就在于幫助教師摒除對不嚴謹的害怕，創新講授與解釋的視角。我們在後面展開讨論這個問題。

02 知識概念的多視角理解與多支點記憶

我們學習或教學實踐中，有時候會遇到幾個概念看似容易混淆，但其實并不是真的容易混淆，隻是視角問題而已。遇到這種情形，最簡單可行的方法，就是有意識選擇多個視角去觀察讨論理解概念，讓學生從不同的角度腦補出完整的拼圖。

就好比院子裡有兩棵樹，從北屋門口看，幾乎疊合在一起，稍微偏東一點的是槐樹，稍微偏西一點的是榆樹，這似乎很容易混淆。但如果站在西屋門口看，就可能發現兩棵樹其實分得清清楚楚，一棵靠北，一棵靠南，一點也不容易混淆。

比如在中學物理中，速度和加速度是兩個貌似很容易混淆的概念。我們當然要強調這兩個物理量的定義，我們甚至會和學生咬文嚼字，加速度是“加速——度”，或者說加速的程度，而不是“加——速度”。但光靠這樣幾個說法，重複無數遍還是不那麼容易懂。

換個方式，我們在手機上下載安裝一個加速度計的軟件，把手機放在一個玩具小車上向前推動，軟件上就記錄了小車所經曆的不同運動階段的加速度。

上面圖中紅色曲線是沿着手機軸線的加速度。從大約0.7秒左右開始，我們推動小車，圖中顯示正向的加速度，小車速度逐漸增加。随後有一段時間，軸向加速度基本為0，小車在這段時間中自由滑行。在2.5秒左右，小車碰到障礙物，加速度圖上呈現一個很大的負值，小車的速度在很短的時間中下降為0。

通過這樣一個實驗，就可以看到加速度和速度這兩個概念分得清清楚楚，二者完全不是一回事。

實際上，很多講課不容易說清楚的概念，換個視角，做個實驗就可以講清楚。如果學生仍然不清楚，那麼就再換一個視角，再做一個實驗。比如把手機安在氣墊導軌上，比如把手機朝天上抛再接住。

03 不要人為制造難點與焦慮

正如馬博士文章中談到的，我國小學數學教學的寶典之一是“突出重點，分散難點”。這是一個非常符合人類認識規律的有效舉措。

在這裡，重點是指知識概念技能本身的重要之點，而難點則是學習理解過程中可能會出現的理解障礙。有時候重點本身也是難點，比如線性代數教學中有一個說法，叫“線性相關，真是一關”，意思是說線性相關既是重要的知識，又是一個難講清楚的話題。但很多時候，重點和難點不是一回事。對于不同屆的學生，以及不同的學生個體，難點都可能不同。某個對多數人而言的難點，對有的學生可能不是事兒。而對多數人不是事兒的地方，有的聰明學生完全可能會繞進去半天出不來。

所謂分散難點，是指不追求一次把所有的事情講清楚，而是通過多次講解探讨，逐步排除學生的理解障礙。這一逐步排除的過程，就包括了前面說的通過多個視角來理解相應的概念。

比如馬博士文章中談到，由于不區分被乘數與乘數，因此 5x3 = 3x5。這樣就必須解釋清楚 5 5 5 = 3 3 3 3 3，因而加重了認知負擔。在這個例子中，如果我們隻拘泥于3個5或者5個3這樣的單一視角，确實有點難講。比如像下圖這個例子，很難一眼看出兩種情況下葡萄的總數一樣。

但我們換個視角，就沒有那麼難了。比如同學們每天要做課間操，排成3行，每行5個人，就是 5 5 5 一共15人。而同樣的方陣，也可以看成排成5列，每列3人，這就變成了 3 3 3 3 3 還是15人。或者把上面的葡萄擺成下圖的樣子，兩種算法總數相等這個事實就非常直觀了。

更進一步，如果把課間操的情景，改成排列小方塊積木，則可以提前讓孩子接觸到了面積的概念。

有的朋友可能會批評，你用方陣這個例子講乘法，等于把乘法交換律提前引進了，把難點集中了。實際上，讓學生看到一個比較明顯符合乘法交換律的例子沒有什麼不好，這恰恰為後面讨論乘法交換律做了鋪墊，是分散了難點。

乘法交換律是個在相當早的階段就需要學生認識的事情，比如乘法口訣表裡有“三五十五”而沒有提“五三”等于多少，顯然在背會口訣之前，學生就必須明白3乘以5和5乘以3結果一樣。

交換律的自然本質是兩個操作可以按任意順序進行，而不會影響到結果。比如先數北坡3隻羊，後數南坡4隻羊，和反過來數，都能得到總數7隻羊的結論。人類從類似的實踐活動中總結出了加法交換律。又比如一個方陣先按行數，還是先按列數，得到的總數都相同，從而認識乘法交換律。馬博士文章中提到有的教師朋友認為由于不區分被乘數與乘數，乘法交換律成了畫蛇添足，這個說法不對。實際上，無論我們是不是使用被乘數與乘數的表述，乘法交換律都是自然存在的。

在使用公理系統串連起來的算術學體系中，為了邏輯上的清晰，同時也為了體系一緻對稱的數學之美，定義了被乘數與乘數。這樣的定義，暗示或明示了二者之間不一定可以交換。然後通過證明，再揭示兩者其實可以交換。作為理論體系，這麼處理完全是可以的。但是在小學學習中，這樣人為地繞一個圈，很難說對提高學生實質性的數學素養有多大幫助。人類的學習方法不是隻有通過公理系統這一條路。我們當然希望讓學生受到公理系統訓練，這很必要，但這完全可以通過幾何以及其後的一系列課程實現。在學習算術的時候，看不出公理系統訓練的迫切性。事實上，即使在使用被乘數與乘數概念的年代中，小學教學引入乘法交換律的方式，通常也是用“你看”這樣的舉例歸納方法，從來沒有聽說哪位老師給學生講解了嚴格的證明。

如果把被乘數與乘數的概念上升成必須考試的内容，二者寫反了要扣分，則無異于給學生人為制造了一個學習難點，給家長老師制造了一個無妄的焦慮。一個孩子一生需要學的東西太多了，像區分被乘數與乘數這種無比重要的學習難點，完全可以等孩子将來長大，立志成為教師，去讀師範的時候再去摳。

04 不要矮化兒童

那麼，課綱上沒有列出被乘數與乘數，是不是教師就不許提被乘數這三個字呢？當然不是。我在微信文章中曾讀到“不要矮化兒童”這樣一句話，意思是說，我們不應該過低地估計學生的理解力。被乘數并不是一個錯誤術語，隻不過在小學算術學習的過程中，其重要性不應人為地過分擡高而已。當我們需要指認乘法中第一個和第二個數（或者豎式中上面和下面的數）的時候，完全可以使用這個術語以方便叙述。同樣，馬博士的親民版表述：“每份數×份數=總數”，也完全可以在講課中使用。

如我們前面所說，即使我們講話真的有什麼不嚴謹，也不見得會誤導學生一輩子。而一個沒有錯誤的術語，僅僅是因為課綱中沒有列出，我們就不敢在講課中提，這就更沒有必要了。

05 結語

不要把課綱裡有沒有列出或區别某個概念知識當成大事。不要把課堂上該不該講某個“超綱”的概念知識當成大事。該當成大事的，是學懂知識本身。這就需要鼓勵教師們創新講解的視角，從而使學生輕松愉快不焦慮地理解知識概念。

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